Ei muistiinpanoja eikä laskimia.

1. Olkoon A nxn matriisi, ja A = LU sen LU-hajotelma. Olkoon B= UL. Osoita, että A ja B ovat similaarisia.

2. Matriisin A ominaisarvot ovat , ,.., ja niitä vastavat lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit x ,x ,..,x . Mitkä ovat matriisin

(I-A) (I+A)

ominaisarvot ja ominaisvektorit ?

3. Olkoon matriisi

ja käytettävissä Matlab tulostus.

A =

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2

4 5 1 2 3

>>[U,D,V]=svd(A)

U =

0.4926 0.6015 0.5073 -0.3717

0.5073 0.3717 -0.4926 0.6015

0.5073 -0.3717 -0.4926 -0.6015

0.4926 -0.6015 0.5073 0.3717

D =

13.5106 0 0 0 0

0 4.2533 0 0 0

0 0 3.5303 0 0

0 0 0 2.6287 0

V =

0.3700 -0.5117 0.0208 0.1954 -0.7501

0.5181 -0.5117 0.0291 0.1954 0.6563

0.4838 0.1954 -0.6810 -0.5117 -0.0469

0.4440 0.6325 0.0250 0.6325 -0.0469

0.4043 0.1954 0.7310 -0.5117 -0.0469

>>help svd

SVD Singular value decomposition. [U,S,V] = SVD(X) produces a diagonal matrix S , of the same dimension as X and with

nonnegative diagonal elements in decreasing order, and

unitary matrices U and V so that X = U*S*V'.

By itself, SVD(X) returns a vector containing the singular

values.

[U,S,V] = SVD(X,0) produces the "economy size"

decomposition. If X is m-by-n with m > n, then only the

first n columns of U are computed and S is n-by-n.

a) Mikä on matriisin A aste ?

b) etsi R(A):lle ortonormaali kanta.

c) etsi N(A):lle ortonormaali kanta.

d) Muodosta A:n pseudoinverssi. (lauseke riittää)

e) Etsi A:lle paras approksimaatio sellaisten matriisienjoukosta, joiden aste on 3.

f) Mikä on matriisin A normi ||A|| ?

4. Olkoonpas

.

Mikä on e^A ?