V* sen
singulaariarvohajotelma. Osoita, että
Ei muistiinpanoja, ei laskimia.
1. Olkoon A ei-singulaarinen
neliömatriisi ja
U
V* sen
singulaariarvohajotelma. Osoita, että
||A
-1||
= 1/
missä
on
pienin A:n singulaariarvoista.
2. Olkoon A reaalinen unitaarinen matriisi. Osoita, että
a) sen vaakarivit muodostavat ortonormaalin joukon
b) vaihdetaan A:n kaksi vaakariviä keskenään. Onko saatu matriisi ortogonaalinen.
Vihje: Jos A on unitaarinen, niin mitä voidaan sanoa A*:stä?
3. Olkoon
Mikä on A
? .
4. Muodosta matriisin
Jordanin kanoninen muoto ja anna sen karakteristinen polynomi, minimipolynomi ja alkeistekijät. Käytössä on mm. oheinen resepti:
1. Etsi nxn matriisin A:n erisuuret ominaisarvot. Mieluummin tarkasti.
2. Olkoon 
ominaisarvo. Laske kullakin ominaisarvolla asteet
r
(
) = rank[(A-
I)
] 1
j n
Jos r
(
) = r
(
) ,niin r
(
) = r
(
) jokaisella j
k.
3. Lasketaan luvut
b
(
) = n-2r
(
)+r
(
)
b
(
) = r
(
)-2r
(
)+r
(
), m 2
Jordanin kanonisessa muodossa liittyy ominaisarvoon
täsmälleen b
(
) Jordanin blokkia, joiden dimensio on mxm.
5. Muodosta matriisin
LU-hajotelma. Mikä on matriisin aste ?
