Tentti 25.11.1991

Ei muistiinpanoja, ei laskimia.

1. Olkoon A ei-singulaarinen neliömatriisi ja U V* sen singulaariarvohajotelma. Osoita, että

||A -1||   = 1/

missä on pienin A:n singulaariarvoista.

2. Olkoon A reaalinen unitaarinen matriisi. Osoita, että

a) sen vaakarivit muodostavat ortonormaalin joukon

b) vaihdetaan A:n kaksi vaakariviä keskenään. Onko saatu matriisi ortogonaalinen.

Vihje: Jos A on unitaarinen, niin mitä voidaan sanoa A*:stä?

3. Olkoon

Mikä on A ? .

4. Muodosta matriisin

Jordanin kanoninen muoto ja anna sen karakteristinen polynomi, minimipolynomi ja alkeistekijät. Käytössä on mm. oheinen resepti:

1. Etsi nxn matriisin A:n erisuuret ominaisarvot. Mieluummin tarkasti.

2. Olkoon ominaisarvo. Laske kullakin ominaisarvolla asteet

r ( ) = rank[(A- I) ] 1j n

Jos r ( ) = r ( ) ,niin r ( ) = r ( ) jokaisella jk.

3. Lasketaan luvut

b ( ) = n-2r ( )+r ( )

b ( ) = r ( )-2r ( )+r ( ), m 2

Jordanin kanonisessa muodossa liittyy ominaisarvoon täsmälleen b ( ) Jordanin blokkia, joiden dimensio on mxm.

5. Muodosta matriisin

LU-hajotelma. Mikä on matriisin aste ?