Tentti 30.9.1991.

Ei laskimia, taulukoita, muistiinpanoja (omaan päähän tehdyt hyväksytään kuten jääkiekossa).

1. Olkoon matriisi

. Muodosta sen LU-hajotelma.

2. Householderin matriisi on muotoa

a) Osoita, että se on hermiittinen ja unitaarinen.

b) Miten muodostat Householderin matriisin avulla matriisin A
QR-hajotelman ?.

3. Olkoon

. Mikä on ||A|| ?

4. Olkoon S = span{e } ja S = {e +e } . Mikä on vektorin [2,2] projektio S :llä pitkin S :ta.

5. Muodosta matriisin

.

Jordanin kanoninen muoto. Käytettävissä on mm. ao. resepti:

1. Etsi nxn matriisin A:n erisuuret ominaisarvot. Mieluummin tarkasti.

2. Olkoon ominaisarvo. Laske kullakin ominaisarvolla asteet

r ( ) = rank[(A- I) ] 1 j n

Jos r ( ) = r ( ) ,niin r ( ) = r ( ) jokaisella jk.

3. Lasketaan luvut

b ( ) = n-2r ( )+r ( )

b ( ) = r ( )-2r ( )+r ( ),m 2

Jordanin kanonisessa muodossa liittyy ominaisarvoon täsmälleen b ( ) Jordanin blokkia, joiden dimensio on mxm.