Tentti 19.12.1990

Ei muistiinpanoja, ei laskimia.

1. Olkoon A ei-singulaarinen neliömatriisi ja U V* sen singulaariarvohajotelma. Osoita, että

||A -1||   = 1/

missä on pienin singulaariarvoista.

2. Osoita, että jokainen neliömatriisi A voidaan esittää muodossa A = QD, missä D on positiivisesti semidefiniitti Hermiten matriisi, ja Q unitaarinen matriisi. Vihje: Aloita singulaariarvohajotelmasta. Ratkaisu mahtuu yhdelle riville.

3. Olkoon

.

Mikä on A ?

4. Muodosta matriisin

Jordanin kanoninen muoto ja anna sen karakteristinen polynomi, minimipolynomi ja alkeistekijät.

5. Olkoon x yksikkövektori. Osoita, että xx* on projektori. Mikä on sen

a) arvojoukko b) ydin.