Tentti 20.12.1994

Ei muistiinpanoja, taulukoita, laskimia.

1. Muodosta matriisin

LU-hajotelma ja laske sen perusteella matriisin determinantin arvo.

2. Todista seuraava väite oikeaksi tai vääräksi

||A|| = ||A T||.

3. Muodosta matriisin

Jordanin kanoninen muoto ja anna sen karakteristinen polynomi, minimipolynomi ja alkeistekijät. Käytössä on mm. oheinen resepti:

1. Etsi nxn matriisin A:n erisuuret ominaisarvot. Mieluummin tarkasti.

2. Olkoon ominaisarvo. Laske kullakin ominaisarvolla asteet

r ( ) = rank[(A- I) ] 1 j n

Jos r ( ) = r ( ) ,niin r ( ) = r ( ) jokaisella j k.

3. Lasketaan luvut

b ( ) = n-2r ( )+r ( )

b ( ) = r ( )-2r ( )+r ( ) , m 2

Jordanin kanonisessa muodossa liittyy ominaisarvoon täsmälleen b ( )

Jordanin blokkia, joiden dimensio on mxm.

4. Mikä on sin(A), kun A on annettu edellisessä tehtävässä.

5. Määrittele matriisinormi ja laske matriisin

normi.