Tentti 7.3.1994

Ei muistiinpanoja, taulukoita, laskimia.

1. Muodosta matriisin

Choleskyn hajotelma.

2. Onko edellisen tehtävän matriisi A positiivisesti definiitti ? Vastaus perusteltava. (Vihje: Kanada ei kelpaa).

3. Todista seuraava väite oikeaksi tai vääräksi

||A|| =||A T||.

4. Muodosta matriisin

Jordanin kanoninen muoto ja anna sen karakteristinen polynomi, minimipolynomi ja alkeistekijät. Käytössä on mm. oheinen resepti:

1. Etsi nxn matriisin A:n erisuuret ominaisarvot. Mieluummin tarkasti.

2. Olkoon ominaisarvo. Laske kullakin ominaisarvolla asteet

r ( ) = rank[(A- I) ] 1j n

Jos r ( ) = r ( ) ,niin r ( ) = r ( ) jokaisella j k.

3. Lasketaan luvut

b ( ) = n-2r ( )+r ( )

b ( ) = r ( )-2r ( )+r ( ) , m 2

Jordanin kanonisessa muodossa liittyy ominaisarvoon täsmälleen b ( )

Jordanin blokkia, joiden dimensio on mxm.