Ei muistiinpanoja, taulukoita, laskimia.

1. Arvioi matriisin

ominaisarvoja Gerschgorinin lauseen perusteella. Millä vakion a arvoilla kaikki ominaisarvot ovat reaaliosaltaan positiivisia.

2. Matriisi A toteuttaa ehdon . Onko matriisilla I+A inverssiä. Vastaus perusteltava.

3. Todista Fredholmin alternatiivi: Yhtälöllä Ax=b on ratkaisu jos ja vain jos

<y,b>=0,

jokaisella y:llä joka toteuttaa ehdon A*y=0.

kaksi vihjettä:

a) Yhtälöllä Ax=b on ratkaisu täsmälleen silloin kun b kuuluu erääseen tuttuun aliavaruuteen.

b) avaruuden voi jakaa siten, että R(A) ja N(A*) ovat sen osia.

4. Muodosta matriisin

singulaariarvohajotelma. Mikä on A:n aste ja mikä on sen paras approksimaatio matriisien joukossa, joiden aste on 0,1 ja 2.

5. Muodosta matriisin

LU-hajotelma.