Tentti 15.12.1992

1. Todista Fredholmin alternatiivi: Yhtälöllä Ax=b on ratkaisu jos ja vain jos

<x,b>=0,

jokaisella x:llä joka toteuttaa ehdon A*x=0.

Joulupukin kaksi lahjavihjettä:

a) Yhtälöllä Ax=b on ratkaisu täsmälleen silloin kun b kuuluu erääseen tuttuun aliavaruuteen.

b) N(A*)=R(A) .

2. Laske matriisin

normi.

3. Etsi matriisin

a) karakteristinen polynomi.

b) minimipolynomi.

4. Määritellään F :n vektorien z ja y avulla matriisi

A=zy*.

Mitkä ovat A:n ominaisarvot ja ominaisvektorit?

5. Laske tehtävän 2 matriisille cos(A).