. Olkoon A
(n-1)x(n-1) A:n osamatriisi, joka saadaan
poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake. A:n
determinantti on
missä i
{1,...,n}. Tätä kutsutaan determinantin
kehittämiseksi i:nnen vaakarivin suhteen. Voidaan osoittaa,
että sama tulos saadaan kehittämällä determinantti
j:nnen pystyrivin suhteen.
missä j
{1,...,n}. Kolmas määritelmä lähtee
permutaatioiden summalausekkeesta
missä summaus tapahtuu lukujen {1,2,..,n} kaikkien mahdollisten
permutaatioiden p = (
(1),
(2),..,
(n)) ylitse. Luku S(p) on parillinen, jos permutaatio
p on parillinen ja pariton jos permutaatio p on pariton.
Permutaatio on parillinen, jos se saavutetaan parillisella transpositioiden
määrällä. Transpositio tarkoittaa kahden luvun vaihtamista
keskenään. Huomaa että summan jokaisessa termissä esiintyy
täsmälleen yksi matriisin alkio kustakin sarakkeesta ja
rivistä.
Determinanttien laskusäännöt:
1) Jos A:lla on kaksi samanlaista riviä (saraketta), niin det(A) = 0.
2) Jos A:n kaksi riviä (saraketta) vaihdetaan keskenään, determinantin merkki muuttuu vastakkaiseksi.
3) Jos A:n rivi (sarake) kerrotaan
:lla, determinantin arvo tulee kerrotuksi
:lla.
4) det A
= det A,
.
5) Jos A:n jokin rivi (sarake) kerrotaan skalaarilla
ja lisätään johonkin toiseen riviin (sarakkeeseen), ei determinantin arvo muutu.
6) Kolmiomatriisin (ylä- tai alakolmio) determinantti on diagonaalialkioiden tulo:
det(A) = a
a
... a
.
7) Jos A,B
F
, niin
det(AB) = det(A) det(B)