Olkoon A nxn matriisi. Determinantti on luku, joka voidaan laskea seuraavasti: 1x1 matriisin determinantti on ainoa alkio a . Olkoon A (n-1)x(n-1) A:n osamatriisi, joka saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake. A:n determinantti on

missä i   {1,...,n}. Tätä kutsutaan determinantin kehittämiseksi i:nnen vaakarivin suhteen. Voidaan osoittaa, että sama tulos saadaan kehittämällä determinantti j:nnen pystyrivin suhteen.

missä j   {1,...,n}. Kolmas määritelmä lähtee permutaatioiden summalausekkeesta

missä summaus tapahtuu lukujen {1,2,..,n} kaikkien mahdollisten permutaatioiden = ( (1), (2),.., (n)) ylitse. Luku S(p) on parillinen, jos permutaatio p on parillinen ja pariton jos permutaatio p on pariton. Permutaatio on parillinen, jos se saavutetaan parillisella transpositioiden määrällä. Transpositio tarkoittaa kahden luvun vaihtamista keskenään. Huomaa että summan jokaisessa termissä esiintyy täsmälleen yksi matriisin alkio kustakin sarakkeesta ja rivistä.

Determinanttien laskusäännöt:

1) Jos A:lla on kaksi samanlaista riviä (saraketta), niin det(A) = 0.

2) Jos A:n kaksi riviä (saraketta) vaihdetaan keskenään, determinantin merkki muuttuu vastakkaiseksi.

3) Jos A:n rivi (sarake) kerrotaan :lla, determinantin arvo tulee kerrotuksi :lla.

4) det A  = det A, .

5) Jos A:n jokin rivi (sarake) kerrotaan skalaarilla ja lisätään johonkin toiseen riviin (sarakkeeseen), ei determinantin arvo muutu.

6) Kolmiomatriisin (ylä- tai alakolmio) determinantti on diagonaalialkioiden tulo:

det(A) = a  a  ... a .

7) Jos A,B   F , niin det(AB) = det(Adet(B)