QR- menetelmä

QR-menetelmä on paras yleiskäyttöinen menetelmä kaikkien ominaisarvojen ratkaisemiseksi. Siinä matriisi A saatetaan Schurin lauseessa esitettyyn yläkolmiomuotoon unitaarisilla muunnosmatriiseilla. Merkillistä on, että menetelmä suppenee kohti yläkolmiomatriisia.

1. Muutetaan A unitaarisella muunnoksella Hessenbergin matriisiksi T . Tämä askel ei aina ole välttämäton. Hessenbergin muoto on kuitenkin usein lähempänä yläkolmiomatriisia, kuin A.

2. Muodostetaan T :n QR-hajotelma

T  = Q R

ja määritellään

T  = R Q (=Q Q R Q  = Q T Q ).

Havaitaan, että T ja T ovat similaarisia, joten niillä on samat ominaisarvot. Jatketaan samaan tyyliin.

k. Muodostetaan T :n QR-hajotelma

T  = Q R

ja valitaan

T  = R Q  = Q T Q .

Taas havaitaan että

T  = (Q ....Q ) T (Q ....Q )

joten T ja A ovat unitaarisesti similaarisia. Kun k   , niin hyvin yleisillä ehdoilla, ei kuitenkaan aina, T   Schurin lauseen yläkolmiomatriisia, josta ominaisarvot näkee silmällä. Konvergenssia voidaan parantaa korvaamalla T T  +  I:llä ja vähentämällä I seuraavassa askeleessa, tai ns. kaksoisaskel QR-menetelmällä.