9.5 Matriisinapproksimointi

Lause 9.5.1 Olkoon A    F , rank(A) = r ja A = U V* sen singulaariarvohajotelma. Paras A:n approksimaatio (matriisinormin mielessä) sellaisilla matriiseilla, joiden aste < r, on

Todistus. Merkitään

Matriisien A ja B välinen ero on

Valitaan jokin toinen matriisi F, jonka aste on k < r. Siis N (F) = n-k. Olkoon {x ,x ,..,x } N (F):n ortonormaali kanta. Avaruuksien

leikkaus on  {0}, sillä muuten olisi

Olkoon x    N (F span{v v ,..., v } s.e. ||x|| = 1. Tällä x:llä

Edelleen, koska {u } on ortonormaali kanta

(sillä ||x|| = 1), joten

Seuraus 9.5.1 Edellisen lauseen tulos yleistyy helposti s.e.

missä

on A:n paras approksimaatio k-asteisten matriisien parissa.