9.4 Matriisinormeista SVD:n avulla

Lause 9.4.1 Olkoon  F . Nyt ja tulevaisuudessa pätee

Lisäksi, jos  F , niin

Todistus. Todistuksessa käytetään jatkuvasti hyväksi sitä, että unitaarisella matriisilla kertominen ei muuta vektorin normia.

Viimeisin yhtälö todistetaan seuraavasti: koska on suurin singulaariarvo, niin

joten

Valitsemalla y = e havaitaan, että maksimi saavutetaan, joten

Alaspäin arvio käy vastaavasti

Kuva 9.4.1. Mikäli F avaruuteen valitaan V matriisin sarakevektorit kantavektoreiksi ja F avaruuteen U:n sarakevektorit kantavektoreiksi, niin kannanvaihtojen seurauksena A matriisi muuttuu :ksi. Se kuvaa F :n yksikköpallon F :n ellipsoidiksi, jonka puoliakselien pituudet ovat ,...,  .

Interaktiivinen harjoitus 9.4.1. Matriisinormi.

Animaatio 1.15.1. Matriisinormi.

Harjoitus 9.4.1 Olkoon A ei-singulaarinen matriisi. Etsi yläraja B:n normille siten, että A+B pysyy ei-singulaarisena.

Vihje: Jos ||B|| <  , missä on A:n pienin singulaariarvo, niin A+B on ei-singulaarinen.