9.3 Arvojoukon ja ytimen kannat SVD:n avulla

Lause 9.3.1 Olkoon A  F ja A = U V* sen singulaariarvohajotelma. Kun merkitään kuten edellä

niin

a)   rank(A) = r

Todistus. b) (u u ,..., u ) ovat ortonormaaleja ominaisvektoreita ja siis lineaarisesti riippumattomia). Olkoon  R (A), joten on olemassa x s.e.

missä V*x.

Edellisestä lausekkeesta nähdään, että  span{u u ,..., u }, joten

Kääntäen, jos  span{u u ,..., u }, niin

Valitaan x = V [ / , / ,..., / ,0,..,0] . Laskemalla havaitaan, että y = Ax, joteny    R (A). Siis span{u u ,..., u  R (A) ja b)-kohta on tullut todistetuksi.

Koska vektorit u u ,..., u ovat ortonormaaleja on {u u ,..., u } R (A):n ortonormaali kanta, joten

mikä oli a)-kohdan väite.

c) Merkitään, kuten edellä Vz.

joten

on v - vektorien lineaarikombinaatio, ja

joten

Kääntäen, jos x    span{v ,..., v }, niin

joten

Seuraus 9.3.1. Muodostamistapansa perusteella v -vektorit ovat ortonormaaleja, joten olemme tulleet todistaneeksi uudelleen dimensiolauseen.

Seuraus 9.3.2. Matriisi  F on ei-singulaarinen <=> 

rank(A)  = n <=>   > 0. A:n inverssin lauseke SVD:n avulla on

A  = (U V*)  = V U*

Tämä ei ole aivan singulaariarvohajotelma, mutta melkein.