F
ja A = U
V* sen
singulaariarvohajotelma. Kun merkitään kuten edellä
Lause 9.3.1 Olkoon A F
ja A = U
V* sen
singulaariarvohajotelma. Kun merkitään kuten edellä
niin
a) rank(A) = r
Todistus. b) (u
, u
,..., u
) ovat ortonormaaleja ominaisvektoreita ja siis lineaarisesti riippumattomia).
Olkoon y
R (A), joten on olemassa x s.e.
missä z = V*x.
Edellisestä lausekkeesta nähdään, että
y
span{u
, u
,..., u
}, joten
Kääntäen, jos y
span{u
, u
,..., u
}, niin
Valitaan x = V [
/
,
/
,...,
/
,0,..,0]
. Laskemalla havaitaan, että
y = Ax, joteny
R (A). Siis span{u
, u
,..., u
} 
R (A) ja b)-kohta on tullut todistetuksi.
Koska vektorit u
, u
,..., u
ovat ortonormaaleja on {u
, u
,..., u
} R (A):n ortonormaali kanta, joten
mikä oli a)-kohdan väite.
c) Merkitään, kuten edellä x = Vz.
joten
on v
- vektorien lineaarikombinaatio, ja
joten
Kääntäen, jos x
span{v
,..., v
}, niin
joten
Seuraus 9.3.1. Muodostamistapansa perusteella v
-vektorit ovat ortonormaaleja, joten olemme tulleet todistaneeksi uudelleen
dimensiolauseen.
Seuraus 9.3.2.
Matriisi A
F
on ei-singulaarinen <=>
rank(A) = n <=>
> 0. A:n inverssin lauseke SVD:n avulla on
A
= (U
V*)
= V
U*
Tämä ei ole aivan singulaariarvohajotelma, mutta melkein.
