9.2 Singulaariarvohajotelmanmuodostaminen

Lause 9.2.1. Olkoon A  F . On olemassa unitaariset mxm ja nxn matriisit Uja V s.e.

U*AV ,

missä on mxn reaalinen diagonaalimatriisi, s.e.

Todistus. A*A on positiivisesti semidefiniitti nxn Hermiten matriisi. Sen ominaisarvot ovat ei-negatiiviset ja reaaliset. Merkitään niitä suuruusjärjestyksessä

Oletetaan, että n-r kappaletta niistä on nollia; , .. =0, muut > 0. Ominaisarvoja vastaavista ortonormaaleista ominaisvektoreista v muodostamme unitaarisen nxn matriisin

Nämä ominaisvektorit muodostavat myös F :n kannan. Yritetään muodostaa sellainen myös F :ään. Valitaan aluksi vektorit

Ne ovat ortonormaalit, sillä

Täydennetään u vektorien joukko F :n ortonormaaliksi kannaksi {u ,u ,..,u ,u ,..,u } ja valitaan unitaarinen U matriisi s.e.

Siinä kaikki! Euroopan lyhimmän todistuksen päätteeksi osoitetaan, että U V*, tai U*AV = .

Todistuksessa on käytetty hyväksi tulosta N (A*A) = N (A), minkä perusteella Av  = 0, kun i = r+1,...,n.

Määritelmä. Hajotelmaa A = U V* sanotaan singulaariarvohajotelmaksi, lyhyesti SVD. Matriisin diagonaalialkiot ovat singulaariarvoja.

Huom. Jos   R , niin U ja V ovat ortogonaalisia matriiseja.

Esimerkki 9.2.1 Olkoon vaihteen vuoksi

jolloin

ja

joten

Lasketaan A*A:n ortonormaalit ominaisvektorit.

siis

Seuraavaksi muodostetaan matriisi U

vektori u valitaan siten, että se on ortonormaali u :n kanssa, esimerkiksi

käy. Siis

Tarkistetaan tulos.

Interaktiivinen harjoitus 9.2.1. Singulaariarvohajotelma.

Harjoitus 9.2.1 Osoita, että A*A:lla ja AA*:lla on samat nollasta poikkeavat ominaisarvot , ..., ja että V:n sarakevektorit ovat A*A:n ortonormaalit ominaisvektorit ja U:n sarakevektorit ovat AA*:n ortonormaalit ominaisvektorit. Miten näitä tuloksia voisi hyödyntää singulaarihajotelman muodostamiseksi.

Huomaa, että singulaariarvohajotelma ei ole yksikäsitteinen. Yhtäsuureen ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit voidaan valita missä tahansa järjestyksessä (V:ssä). Jos U matriisia täydennetään ylimääräisillä ortonormaaleilla vektoreilla, voidaan niiden järjestystä vaihdella. Singulaariarvot sen sijaan ovat yksikäsitteiset.

Laskenta-aikoja. Numeerisesti SVD:tä ei muodosteta edellä esitetyllä tavalla. (ks. Golub 1983). SVD:n laskenta-aika riippuu siitä, mitä osia hajotelmasta halutaan selvittää. Jos halutaan koko hajotelma tarvitaan siihen nxn-matriisille likipitäen 13n flopsia.