8.5 Minimipolynomi

Määritelmä. Matriisin A minimipolynomilla tarkoitetaan matalinta astetta olevaa polynomia (), jonka korkeimman potenssin kerroin on ykkönen, s.e.

(A) = 0.

Lause 8.5.1 Olkoon A nxn -matriisi, jonka erisuuret ominaisarvot ovat ,..., ja olkoon s :hin liittyvän suurimman Jordanin lohkon dimensio. Tällöin A:n minimipolynomin aste on

s  + s  +...+ s ja se on

Todistus. (Kuten Cayley-Hamilton). Seuraa siitä, että mennäkseen nolliksi, on lohkot (J - I) korotettava vähintään potenssiin s , missä s on kutakin ominaisarvoa vastaavan suurimman lohkon dimensio q.

Esimerkki 8.5.1

Minimipolynomi on (-2) . Karakteristinen polynomi on (-2) .

Lauseen 8.5.1 perusteella voidaan löytää helppo menetelmä minimipolynomin määrittämiseksi, kun matriisi on pieni. Aluksi etsitään matriisin A karakteristinen polynomi ja jaetaan se tekijöihin Oletetaan, että karakteristinen polynomi on

.

Matriisin A minimipolynomi on

Kertakukujen n oikeat arvot löydetään kokeilemalla. Karakteristisen polynominlausekkeessa monikertaisten ominaisarvojen kertalukua pienennetään järjesteyksessä ja jokaisen piennenyksen jälkeen kokeillaan toteuttaako A ko. polynomin. Jos toteuttaa, niin jatketaan ko. ominaisarvonkertaluvun alentamista, jos ei, niin siirrytään seuraavaan erisuureen ominaisarvoon.

Määritelmä. Alkeistekijät. Matriisin A alkeistekijät ovat sen Jordanin lohkojenkarakteristiset polynomit.

Harjoitus 8.5.2 Osoita, että keskenään similaarisilla matriiseilla on sama minimipolynomi. [1]