8.4 Cayley -Hamiltonin lause,minimipolynomi

Lause 8.4.1. Olkoon  C , (A) = { ,..., }, ja olkoon

jokin polynomi. Sitä vastaavan matriisipolynomin

spektri

Todistus.

A  = (SJS )  = (SJS )(SJS )(SJS )...(SJS ) = SJ S ,

joten

p(A) = SJ S  + a SJ S  + ... + a I

S(J  + a J  + ... +a I)S  = Sp(J)S .

Koska J = diag[J J ,...,J ], niin J  = diag[J , J ,...,J ] , ja

Edelleen, koska

niin

missä x voi olla  0, siispä

ja p(J ) lohkon ominaisarvo on p( ). Samoin käy muissa lohkoissa josta väite seuraa.Matriisipolynomilla p(A) on vähintään yhtä monta ominaisvektoria kuin A:lla, koska Jordanin lohkot muuttuvat yläkolmiolohkoiksi polynomia muodostettaessa. Ominaisvektoreita voi olla enemmänkin, sillä Jordanin lohko voi hajota q.

Esimerkki 8.4.1 Olkoon

ja p() =   + 1,

joten p(A):n spektri

Toisaalta p(2) = 5 , joten teorian perusteella

(p(A)) = {p(2), p(2)} = {5,5}.

Esimerkki 8.4.2 Matriisilla

on vain yksi lineaarisesti riippumaton ominaisvektori. Jos p() =  , niin

ja p(A):lla on kaksi lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria.

Lause 8.4.2 (Cayley-Hamilton) Jos p() on A:n karakteristinen polynomi, niin p(A) = 0.

Todistus.

p() = | I - A| = ( -  )( -  )...( -  ),

joten

p(A) = (A -  I)(A -  I)...(A -  I).

Oletetaan aluksi, että A on diagonalisoituva, ts. A = SDS ,

D = diag[ ,..., ]. Tällöin

p(A) = S(D -  I)S S(D -  I)S ...S(D -  I)S S(D -  I)(D -  I)...(D -  I)S

S  diag(0,   -  ,...,  -  )  diag(  -  , 0,...,  -  )...

diag(  -  ,...,0)S  = S . 0 . S  = 0.

Jos yleisemmin A = SJS ja J on A:n Jordanin kanoninen muoto, niin

p(A) = S(J -  I)(J -  I)...(J -  I)S .

Olkoon

Tällöin ominaisarvo esiintyy kussakin lohkossa r kertaa ja saadaan

Ensimmäinen tulon tekijä

Lohko

joten ensimmäisen tekijän 1. lohko = 0. Samoin toinen lohko = 0 jne, joten lopulta p(A) = 0q.

Harjoitus 8.4.1 Cayley-Hamiltonin lause voidaan todistaa myös Cramerin säännön avulla. Sen perusteella

det( I-A)= ( I-Aadj( I-A).

Muodostamistapansa perusteella adj( I-A) on matriisipolynomi, jonka aste on n-1. (sehän on muodostettu (n-1)x(n-1) alideterminanteista). Merkitään

missä B :t ovat nxn- matriiseja. Edellinen yhtälö on nyt

Kirjoita det( I-A) :n polynomina ja sijoita yo. yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle :n paikalle A, niin saat B :t ratkaistuiksi. Sijoita ne oikeanpuoleiseen yhtälöön, josta väite seuraa.