8.2 Jordanin kanoninen muoto

Lause 8.2.1. Jordanin kanoninen muoto. Jokainen nxn -matriisi A on similaarinen matriisin

kanssa, missä kukin J on eo. muotoa oleva r  x r matriisi. Esitys on yksikäsitteinen, mutta matriisien J järjestys esityksessä voi vaihdella.

Jordanin kanonisen muodon todistus: (ks. Gantmacher: Matrizenrechnung, 1970 tai Ortega: Matrix Theory 1987, yksinkertaisin todistus lienee Väliahon ja se loytyy Prasolovin kirjasta (1994)).

Harjoitus 8.2.1. Etsi matriisi P s.e. edellisessä lauseessa

Määritelmä. Lauseessa 8.2.1. esitetty J on A:n Jordanin kanoninen muoto. Lohkot J ovat Jordanin lohkoja. Jos r  = 1   i , niin p = n ja A on similaarinen diagonaalimatriisin kanssa (J  =  ). Jos r  = n, on J = J .

Huom. Harjoituksen 8.2.1. perusteella löydetään similaarisuusmuunnos, jolla Jordanin lohkot saadaan haluttuun järjestykseen. Koska jokainen matriisi on similaarinen Jordanin kanonisen muodon kanssa, ovat matriisit A ja B similaarisia täsmälleen silloin kun niillä on sama Jordanin kanoninen muoto.

Esimerkki 8.2.1. Tarkastellaan 4x4 matriisin mahdollisia Jordanin kanonisia muotoja.

Kaikkien matriisien ominaisarvot ovat kakkosen suuruisia ja niiden karakteristinen polynomi on (-2) .

Edellä havaittiin, että matriisilla voi olla samat ominaisarvot, mutta eri Jordanin kanoninen muoto. Tarkastellaan nyt ominaisvektoreita.

Jokaista Jordanin lohkoa vastaa vain yksi lineaarisesti riippumatonominaisvektori. Matriisin diag [J ,J ,...,J ] lin.rtt. ominaisvektorit ovat

e e e ,..., e .

Edellisen esimerkin matriiseiden ominaisvektorit ovat:

(a)  e e e e , (b)  e e , (c)  e , e ,e , (d)  e e  , (e)  e

Ominaisvektoreiden lukumäärän perusteella määritellään:

Määritelmä. Ominaisarvon algebrallinen kertaluku on sen kertaluku karakteristisen yhtälön juurena. Sen geometrinen kertaluku on :n lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä. Jos geometrinen kl. < algebrallinen kl. onmatriisi defektiivinen.

Esimerkki 8.2.2 Eo. 4x4-matriisin (a), (b), (c), (d), (e) ominaisarvon  = 2 algebrallinen kl. =4, sillä | I-A| = ( -2) . Geometrinen kertaluku a) 4, b) 2, c) 3, d) 2, e) 1.

Jos A:lla ei ole n:ää, lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, ei sitä voida diagonalisoida similaarisuusmuunnoksella. Kuitenkin se saadaan similaarisuusmuunnoksella Jordanin kanoniseen muotoon. Katsotaan nyt mikä on similaarisuusmuunnosmatriisin rakenne.

Olkoon siis A similaarinen J:n kanssa:

A = SJS    <=>  AS = SJ  <=>

Suoraan laskemalla ensimmäisestä lohkosta havaitaan, että

Vektoreiden {s s ,...,s } muodostamaa joukkoa sanotaan Jordanin ketjuksi. Vektori s on ominaisvektori. Vektoreita s ,...,s sanotaan yleistetyiksi ominaisvektoreiksi. Sama toistuu muissakin lohkoissa, joten jos A = SJS , niin S:n sarakevektorit muodostavat p Jordanin ketjua

Esimerkki 8.2.3 Tarkastellaan matriisia

Sen ominaisarvot ovat

ja niitä vastaavat ominaisvektorit

Toista ei löydy. Jordanin ketju on

josta saadaan x  = 0, x  = 2 , joten

Näin on saatu ketju

ja

Tarkistuksena lasketaan tulo

joten