6.9 Diagonalisoituvan matriisinspektriesitys

Yhtälöstä, jossa on merkitty Y* = X ,

saadaan diagonalisoituvan A:n spektriesitys. Vektorit x ovat :tä vastaavia ominaisvektoreita ja y -vektori X :n rivivektori. Havaitsemme, että vektorijoukot {x ,x ,...,x } ja {y ,y ,...,y } ovat biortogonaaliset, ja yllä olevan summan kukin komponentti

x y muodostuu projektorimatriisista x y , joka projisioi kuvattavan vektorin ominaisvektorille x aliavaruuden

span{x ,..x ,x ,..,x }

suuntaisesti, ja ominaisarvosta, jolla ko. komponentti kerrotaan. Hajotelma on analoginen hermiittisten matriisien hajotelman kanssa.

Mikäli jotkin ominaisarvot ovat yhtäsuuria, voidaan eo. spektriesitys koota toiseen, samantapaiseen muotoon kuin Hermiten matriisin tapauksessa:

missä :t ovat erisuuret ominaisarvot ja Q :t ovat projektorimatriiseita s.e.

Q Q  = 0

ja

Animaatio 6.9.1. Diagonalisoituvan matriisin spektriesitys.