6.8 Yleisestäsimilaarisuudesta

Tarkastellaan saataisiinko yleisemmillekin matriiseille hermiittisten matriisien kaltaista spektriesitystä, josta ominaisarvojen ja -vektorienmerkitys matriisikuvauksessa käy ilmi.

Lause 6.8. (nxn)-matriisi A on similaarinendiagonaalimatriisin kanssa jos ja vain jos sillä on n kpl lin.rtt. ominaisvektoreita. Matriisin diagonaalialkiot ovat A:n ominaisarvot.

Todistus. Olkoon A:lla täysi määrä (n kpl.) lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita; Ax  =   x ,  i = 1,...,n, missä :t ovat ominaisarvoja ja x ;t niitä vastaavat lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit. Kootaan ominaisarvoyhtälöt matriisimuotoon

=>   AX = X   =>  A = X X

Matriisilla X on inverssi, koska sarakevektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Kääntäen, jos A = X X , missä on diagonaalimatriisi, niin

AX = X   =>  Ax  =  x ,  i = 1,...,n,

missä :t ovat D:n alkioita ja x :t X:n sarakkeita. Eo. yhtälön perusteella ne ovat A:n ominaisarvoja ja ominaisvektoreita. X:n sarakkeina x :t ovat lin.rtt.