Millaiset matriisit ovat unitaarisesti similaarisia diagonaalimatriisin kanssa? Vastausta ei tarvitse kauan odottaa.

Lause 6.8. Matriisi A on unitaarisesti similaarinen diagonaalimatriisin kanssa jos ja vain jos se on normaali.

Todistus. Oletetaan aluksi, että A on unitaarisestisimilaarinen diagonaalimatriisin kanssa.

joten A on normaali.

Olkoon A normaali. Nyt pätee

AA* = A*A.

Schurin lauseen perusteella A = UTU*, missä T on yläkolmiomatriisi.

AA* = UTU*UT*U* = UTT**

A*A = UT*U*UTU* = UT*TU*,

siis

TT* = T*T,

joten T on normaali yläkolmiomatriisi. Tästä seuraa, että T on diagonaalinen.

Harjoitus 6.10. Osoita, että matriisi A on unitaarisesti similaarinen Hessenbergin matriisin kanssa. Vihje: käytä Householderin matriiseja.