6.6 Hermiten matriisin toinen spektriesitys

Merkitään A:n erisuuria ominaisarvoja , ,..., :llä. Spektriesitys voidaan ryhmitellä s.e.

missä

Luvun 4 ja 3 tulosten perusteella havaitaan, että Q   -matriisit ovat ortogonaaliprojektorimatriiseita, joiden avulla F avaruus voidaan jakautuu matriisin A ominaisavaruuksien summaksi. Kootaan tulokset seuraavaksi lauseeksi

Lause 6.7. Olkoon A nxn Hermiten matriisi ja , ,..., sen erisuuret ominaisarvot. Tällöin

ja

a) Q :t ovat ortogonaaliprojektorimatriiseita

b) Q Q  = 0,    i j

c) C  = S   S   ...  S ,  missä  S  = R (Q ).

Todistus.

kun i  j.

c) Olkoon x  C . Koska {u ,u ,...,u } on C :n ortonormaali kanta, niin

joten C S  + S + ... + S . Koska

kun i  j, niin aliavaruudet ovat keskenään ortogonaaliset. Siis väitteet a), b) ja c) on todistettu.

Kuvaus A:lla kerrottaessa tapahtuu seuraavasti. Jos

x = Q x + Q x +.... + Q x  ,

niin

Ax =  Q x +  Q x + ... +  Q x

ts. x:n osat R (Q ):ssä tulevat kerrotuiksi ominaisarvoilla . R (Q ) on :hin liittyvien ominaisvektoreiden virittämä ominaisavaruus

Esimerkki 6.5. Olkoon

Sen ominaisarvot ovat  = 1 =   = 3 =  . Ominaisvektorit (normeerattuina)

Matriisin A spektriesitys on siis

Yhteenlasku tuottaa tietysti A:n, kuten toivoa sopiikin. Kuvaus

voidaan hajottaa osiin s.e.

ja

Harjoitus 6.9. Olkoon A ei-singulaarinen. Mikä on

a) A :n

b) A :n spektriesitys ?.