6.4 Unitaarinen similaarisuus

nxn -matriisit A ja B ovat unitaarisesti similaarisia, jos on olemassa unitaarinen matriisi U s.e. U*AU = B.

Lause 6.2. (Schurin lause) Neliömatriisi on unitaarisesti similaarinen yläkolmiomatriisin kanssa (C :ssä).

Todistus induktiolla. Tapaus n=1 on selvä. Oletetaan, että väite pätee (n-1)x(n-1) matriiseille. Olkoon A nxn matriisi, sen ominaisarvo ja x vastaava normeerattu ominaisvektori (<x x > = 1). Muodostetaan C :n sellainen ortonormaali kanta, jossa x on ensimmäisenä vektorina (vaikkapa QR-hajotelmalla). Kantaon siis

{x , u , u ,...,u }.

Merkitään

Matriisi P on unitaarinen (miksi?) ja

Koska x   u , i = 1,..., n-1, niin

U*AU on (n-1)x(n-1) matriisi, joten induktio-oletuksen perusteella löytyy unitaarinen matriisi Q s.e.

missä T on (n-1) x (n-1) yläkolmiomatriisi. Valitaan

Helposti osoitetaan, että P on unitaarinen ja

Unitaaristen matriisien tulona P P on unitaarinen, T on yläkolmiomatriisi ja väite on todistettu.

Seuraus 6.1. Olkoon T matriisista A muodostettu Schurin yläkolmiomatriisi. Tällöin (A) = (T) = { t ,t ,...,t }, missä t :t ovat yläkolmiomatriisin T diagonaalialkiot.

Seuraus 6.2. Jos A on reaalinen matriisi jonka ominaisarvot ovat reaaliset, niin se on ortogonaalisesti similaarinen reaalisen yläkolmiomatriisin kanssa.

Lause 6.3. Hermiten matriisi on unitaarisesti similaarinen ominaisarvoistaan muodostetun lävistäjämatriisin kanssa. Sen ominaisarvot ovat reaaliset.

Todistus. Etsitään unitaarinen muunnosmatriisi U siten, että U*AU = T, missä T on yläkolmiomatriisi. A:n hermiittisyyden perusteella:

T* = (U*AU)* = U*AU  T,

joten T on hermiittinen yläkolmiomatriisi. Se on lävistäjämatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat reaaliset. Koska T ja A ovat similaariset, on  (A) = { t ,t ,....,t } missä t ,t ,....,t ovat T:n diagonaalialkiot.

Lause 6.4. (nxn) Hermiten matriisilla A on täsmälleen n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, jotka lisäksi voidaan valita niin että ne muodostavat ortonormaalin joukon.

Todistus. Lauseen 6.3 perusteella matriisi A on unitaarisesti similaarinen lävistäjämatriisin D kanssa. Siispä

joten valitaan

:tä vastaava ominaisvektori on matriisin U i:s sarakevektori u . Ne ovat ortonormaalit unitaarisen matriisin U sarakevektoreina. Lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita voi olla korkeintaan n kpl.Tästä seuraa väite.

Kääntäen pätee:

Lause 6.5. Jos A:n ominaisarvot ovat reaaliset ja sillä on n kpl ortonormaaleita ominaisvektoreita, niin Aon Hermiten matriisi.

Todistus. Kirjoitetaan ominaisarvoyhtälöt

matriisimuotoon

missä = [u u ,...,u ] ja  = diag[ , ,..., ]. Siispä

AU = U  <=> A = U U*,

ja

A* = (U U*)* = U *U* = U U*,

joten

A* = A.  

Jos matriisi A on reaalinen ja symmetrinen ovat sen ominaisarvotreaalisia, jolloin yo. tulokset pätevät symmetrisille matriiseille. Muunnosmatriisi U on tällöin ortogonaalinen.

Lause 6.6. Hermiittinen matriisi on positiivisesti definiitti jos ja vain jos sen ominaisarvot ovat positiiviset.

Todistus. Hermiittinen matriisi A on unitaarisestisimilaarinen ominaisarvoistaan muodostetun diagonaalimatriisin kanssa A=U U*. Nyt pätee

<x , Ax> = <x, U U*x> = < U*x, U*x > = < z, z > .

Olkoon A on positiivisesti definiitti. Valitaan x = Ue . 0, niin saadaan 0 < <x , Ax >= < e , e >= d , missä d on :n i:s diagonaalialkio ja A:n ominaisarvo. Edellisen perusteella se on positiivinen.

Kääntäen, jos A:n ominaisarvot, siis :n diagonaalialkiot ovat positiiviset, niin

<x , Ax>= < z, z > 0,

kun z=U*x. Jos z = 0, niin x= 0, joten < x , Ax> > 0, kun x 0, joten A on positiivisesti definiitti.

Seuraus 6.4. (Sylvesterin lause) Hermiittinen matriisi on positiivisesti definiitti, jos ja vain jos sen pääalideterminantit ovat positiiviset.

Todistus. Luvussa 2 on osoitettu, että pääalideterminanttien positiivisuudesta seuraa positiivinen definiittisyys. Todistetaan nyt käänteinen tulos. Jos matriisi on hermiittinen ja positiivisesti definiitti, niin sen ominaisarvot ovat positiiviset. Koska determinantti on ominaisarvojen tulo, niin sekin on positiivinen. Positiivisesti definiitin matriisin pääalimatriisit ovat positiivisesti definiittejä (harjoitus 1.12.3), joten pääalideterminantitkin ovat positiivisia .