6.3 Similaarisuudesta

(nxn )-matriisit A ja B ovat similaarisia,jos on olemassa ei-singulaarinen nxn-matriisi S s.e.

B = S AS

Jos A on similaarinen lävistäjämatriisin kanssa, on A diagonalisoituva.

Harjoitus 6.8. Similaarisilla matriiseilla on samat ominaisarvot. Entä ominaisvektorit ?

Esimerkki 6.4. (nxn)-matriiseilla AB ja BAon samat ominaisarvot, jos A tai B on ei-singulaarinen. Jos esimerkiksi det(A 0, niin

A ABA = BA,

joten AB ja BA ovat similaarisia, ja edellisen harjoituksen perusteella ominaisarvot ovat samat. (Väite pätee myös singulaarisille matriiseille. Vihje: Jos A on singulaarinen, on A+I ei-singulaarinen :n pienillä positiivisilla arvoilla Edellisen perusteella kommutointi onnistuu, joten matriiseilla (A+ I)B ja B(A+ I) on samat ominaisarvot. Ominaisarvot riippuvat jatkuvasti karakteristisen polynomin kertoimista, jotka riippuvat jatkuvasti matriisin alkioista. Lopuksi anna ->0 . )