6.2 Ominaisarvot ja -vektorit

Määritelmä. (Neliö) matriisin A  F ominaisarvot   C ovat yhtälön

Ax = x, x 0,

ratkaisut. Vastaavia ratkaisuvektoreita x sanotaan ominaisvektoreiksi.

Huom. Ominaisvektorin x suunnassa matriisitulo Ax merkitsee sitä, että vektori x kerrotaan skalaarilla .

Ominaisarvot voidaan ratkaista yhtälöstä

Esimerkki 6.1. Olkoon

lasketaan sen ominaisarvot.

Matriisin A karakteristinen polynomi on

nxn matriisin karakteristisen polynomin aste on n ja korkeinta astetta olevan termin kerroin on 1. Algebran peruslauseen nojalla karakteristisella polynomilla on täsmälleen n juurta (ei välttämättä erisuurta).

A:n ominaisarvojen joukkoa { , ,..., }, sanotaan A:n spektriksi ja merkitään

Jotkut ominaisarvoista voivat olla samansuuruisia. Oletetaan, että erisuuria ominaisarvoja on s kappaletta. Ominaisarvot voidaan ryhmitellä siten, että ensimmäisen ominaisarvon perään kirjoitetaan kaikki sen suuruiset ominaisarvot. Olkoon niitä m kappaletta. Sitten toiseen ryhmään kaikki seuraavan erisuuren ominaisarvon suuruiset jne. Merkitään A:n erisuuria ominaisarvoja :lla, k=1,...,s. Niiden avulla karakteristinen polynomi on

Kunkin erisuuren ominaisarvon (algebrallinen) kertaluku on m .

Esimerkki 6.2 . Laskemme nxn identiteettimatriisinominaisarvot

joten

ja kaikki ominaisarvot ovat ykkösiä.

Esimerkki 6.3. Olkoon (A) = {1,1,2}. Sen erisuuret ominaisarvot ovat  = 1,  = 2. Vastaavat kertaluvut ovat 2 ja 1. Karakteristinen polynomi on
(-1) (-2).

Lause 6.1. Olkoon (A) = { ,  ,..., }. Tällöin

a) det(A 0 <=>    0,   i = 1,...,n.

b)

Todistus. Vihjeitä.

a) karakteristisen polynomin määritelmästä seuraa, että

b) seuraa yhtälöstä rank(I-A)=rank((I-A) ) ja ominaisarvojen määrittely-yhtälöstä.

c) Kompleksikonjugoi ominaisarvojen määrittely-yhtälö.

Harjoitus 6.1. nxn -matriisilla voi olla korkeintaan n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria.

Harjoitus 6.2. Erisuuriin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Harjoitus 6.3. Yläkolmiomatriisin diagonaalialkiot ovat senominaisarvot.

Harjoitus 6.4. Reaalisen matriisin reaalista ominaisarvoavastaava ominaisvektori voidaan valita reaaliseksi.

Harjoitus 6.5. ***

Harjoitus 6.6. Matriisin karakteristisen polynomin kertoimet voidaan laskea Leverrierin kaavalla:

S  = I

a  = -tr(A)

k = 1,2,...,n-1

S  = S A + a I

a  = -tr(S A) / (k+1).

Tarkista kaavan oikeellisuus, kun

Harjoitus 6.7. Karakteristisen polynominmääritelmästä seuraa

Interaktiivinen harjoitus 6.2.1. Ominaisarvot ja ominaisvektorit.