6.10 Gerschgorinin teoreema

Joskus on tarpeellista tietää, missä matriisin ominaisarvot suurinpiirtein sijaitsevat, tai matriisia häirittäessä halutaan varmistua siitä, että ominaisarvot pysyvät sallitussa kompleksitason alueessa. Näin on laita esimerkiksi lineaarisia matriisidifferentiaaliyhtälöitä stabiloitaessa, jolloin spektrin tulisi pysyä kompleksitason vasemmassa avoimessa puolitasossa.

Lause 6.10 . (Gerschgorinin teoreema). Olkoon A nxn matriisi. Määritellään kompleksitason a -keskiset ympyrät S kaavalla

Väitetään, että

Todistus. Olkoon A:n ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. Normeerataan se siten että

Kirjoittamalla yhtälö Ax =  x komponenteittain saadaan

Olkoon nyt |x | = ||x||  = 1 itseisarvoltaan suurin ominaisvektorin x alkio. Indeksin arvolla i=k yhtälö antaa halutun tuloksen

Esimerkki 6.6. Tarkastellaan matriisin

ominaisarvojen sijaintia Gerschgorinin lauseen avulla. Jokaisen vaakarivin perusteella |2-|1. Ominaisarvot ovat kompleksitason 2-keskeisessä 1 säteisessä ympyrässä.

Laskemalla havaitaan, että (A)={3, 1.5+ 0.87i, 1.5-0.87i}

Harjoitus 6.11. Aidosti diagonaalisesti dominantti matriisi on ei-singulaarinen.

(Aidosti diagonaalisesti dominantin matriisin A alkiot toteuttavat yhtälön