5.4 Projektorimatriisi

Projektorimatriiseja käytetään monissa yhteyksissä. Niiden avulla voidaan muodostaa lineaariselle yhtälöryhmälle Ax = b ratkaisuja, joiden virhe on mahdollisimman pieni, jos tarkkaa ratkaisua ei ole olemassa. Projektorimatriiseilla voidaan suodattaa mitatusta datasta mittausvirheitä pois. Mitattu data projisoidaan aliavaruuteen, joissa virheitä ei ole, ja joissa tulokset ovat helposti ymmärrettäviä. Regressioanalyysi on eräs tällaisista tilastollisista menetelmistä. Uusimpia sovelluksia on 3D-grafiikka, jota seuraavassa kappaleessa tarkastellaan. Siinä käytetään hyväksi myös vinoja projektioita.

Kuva 5.4.1 Vektorin x vino projektio pitkin vektoria s ja ortogonaalinen projektio pitkin vektoria s aliavaruuteen S .

Olkoon

missä S ja S ovat aliavaruuksia. Koska summa on suora, jokainen x  F voidaan jakaa yksikäsitteisesti s.e. x = s +s , s   S . Kuvausta

Ps

sanotaan projektoriksi aliavaruuteen S pitkin aliavaruutta S .

Pyritään lausumaan projektorikuvaus matriisina. Valitaan aliavaruuksien S ja S kannoiksi {x ,x ,..,x } ja {x ,x ,..,x }. Näin saadaan koko avaruuden kanta {x ,x ,..,x ,x ,...,x }. Merkitään

X=[x ,x ,.., x ..,x ],

Y*=X Y=[y ,y ,...,y ]

Jokainen F :n vektori x voidaan nyt lausua kantavektorien lineaarikombinaationa seuraavasti

.

Vektorin x osa aliavaruudessa S on

ja viimeisen lausekkeen perusteella

,

joten etsitty projektorimatriisi on

.

Harjoitus 5.4.1. Osoita, että projektorimatriisi toteuttaa yhtälön P P ja projisoi vektorit R (P):lle pitkin N (P):tä, ts. R (P) = S ja N (P) = S . Tarkista myös että

Vihje: Kannat {x } ja {y } ovat biortonormaaleita.

Harjoitus 5.4.2. Olkoon P projektorimatriisi, Osoita, että I-P on projektorimatriisi N (P):lle pitkin R (P):tä.

Edellisen harjoituksen perusteella identiteettikuvaus voidaan jakaa kahden projektorimatriisin summaksi

P + (I-P),

joista ensimmäinen projisioi vektorin R (P):lle ja toinen N (P):lle

Esimerkki 5.4.1 Olkoon S  = span {e } ja S span {e +e }. Mikä on vektorin [1,2] projektio S :lle pitkin S :ta ?

Vektorin projektio on

minkä oikeellisuuden kuva vahvistaa.

Harjoitus 5.4.3. Projektorimatriisin yhtälöstä voidaan päätellä, että

Px  x        ,i = 1,...,n

Px  = 0         ,i = n+1,...,m

ts. projektorimatriisi kuvaa S :n kantavektorit samoiksi kantavektoreiksi ja S :n kantavektorit nollavektoreiksi (päättele). Kääntäen, jos meillä on matriisi, joka toteuttaa yo. yhtälöt, niin osoita että se on projektorimatriisi S :lle pitkin S :ta.

Harjoitus 5.4.4 Osoita, että jos matriisi toteuttaa yhtälön

P  = P

niin se määrittelee projektorimatriisin R (P):lle pitkin N (P):tä.

Projektorimatriisien summa. Tarkastellaan nyt milloin kahden projektorimatriisin P , P summa on projektorimatriisi. Jos

P P  = 0 ja P P  = 0,

niin nyt (P +P )  = P +P . Summaprojektori on kuvaus R (P +P ):lle pitkin N (P +P ):ta. Selvitetään vielä mitä nämä ovat. Harjoitustehtävänä osoitetaan, että

Näin ollen avaruus F on jaettu kolmen alivaruuden suoraksi summaksi

vastaten identiteettikuvauksen jakoa projektorimatriiseihin

On selvää, että edellä esitetty yleistyy usemmankin projektorimatriisin summakaavaksi.

Ortogonaaliprojektorimatriisi. Olkoon S   F aliavaruus ja S sen ortogonaalikomplementti. Avaruus

Jakoa vastaavaa projektoria PF  -> S sanotaan ortogonaaliprojektoriksi. Tässä tapauksessa voidaan projektorille löytää matriisiesitys helposti edellä esitettyyn tapaan. Olkoon {q ,q ,..., q  n } S:n ortonormaali kanta. Täydennetään se F :n ortonormaaliksi kantaksi {q ,q ,..., q }. Vektorin x osa aliavaruudessa S on

,

josta saadaan, kuten edellä ortogonaaliprojektorimatriisin lauseke

Harjoitus 5.4.4 Osoita, että ortogonaaliprojektorimatriisi P toteuttaa yhtälöt P  = P ja P* = P.

Harjoitus 5.4.5 Matriisi P toteuttaa yhtälöt

P  = P ja P* = P.

Osoita, että se on ortogonaaliprojektorimatriisi R (P):lle (mitä pitkin?)