5.3 Matriisin muuttuminen kantaa vaihdettaessa

Valitaan aluksi avaruuksiin F ja F luonnollinen kanta. mxn matriisi A määrittelee kuvauksen F  -> F siten, että

y = Ax.

Suoritetaan F :ssä kannanvaihto

Kannanvaihtomatriisi on = [x ,x ,...,x ], ja F :ssä vastaavasti

Kannanvaihtomatriisiksi saadaan Y = [y ,y ,...,y ]. Kirjoitetaan x- ja y- vektorit uusissa kannoissa:

matriisikuvaus muuttuu nyt muotoon

Uusissa kannoissa matriisi saa muodon

Y AX,

jossa se selvittää miten x-vektorin koordinaatit kannassa {x } muuttuvat kuvavektorin y koordinaateiksi kannassa {y }. Näinhän alkuperäinen matriisikuvaus luonnollisissakin kannoissa voidaan ymmärtää - matriisi kuvaa koordinaatit koordinaateiksi.

Esimerkki 5.3.1 Olkoon matriisi A luonnollisten kantojen suhteen.

Vaihdetaan kantoja s.e.

R :ssa

R :ssa

Miten matriisi muuttuu? Kannanvaihtomatriisit ovat

Matriisi uusissa kannoissa on:

Tarkistus: Olkoon x = [1, 1, 1] lausuttuna luonnollisessa kannassa. Sen kuva edelleen luonnollisessa kannassa on

Vektorin

koordinaatit uudessa {x } kannassa ovat

josta

Matriisikuvaus uusissa kannoissa antaa vektorin

Nämä ovat kertoimet {y } kannassa ja niistä saadaan kuvavektori, laskemalla