5.2 Kannanvaihto aliavaruudessa

Olkoot {x ,x ,...,x } ja {y ,y ,...,y } kaksi avaruuden F aliavaruuden R kantaa, luonnollisesti m  n. Jokainen vektori x  R voidaan lausua kantavektoreiden lineaarikombinaationa

missä  = [ , ,..., ] ja  = [ , ,..., ] ovat koordinaatit kannoissa {x } ja {y } . Tehtävänä on ratkaista kertoimet kun tunnetaan tai kääntäen.

Ratkaisu: mxn matriisien X ja Y aste on n, sillä kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Koska kantavektorit virittävät saman aliavaruuden R, ovat arvojoukot samat R (X ) = R (Y ). Kirjoitetaan yhtälö muotoon

Koska N (X ) = N (X *X ) = {0} (harjoitus 3.6.4, lause 2.2.4) voidaan seuraava yhtälö ratkaista

ja saadaan

koordinaatit kannassa X.

Osoitetaan vielä, että ratkaisu toteuttaa alkuperäisen yhtälön (1). (Sehän on vasta (2):n ratkaisu.) Yhtälön (2) perusteella X  - Y   N (X *), toisaalta pätee X  - Y   R (X ). Näiden aliavaruuksien leikkaus sisältää vain nollavektorin (ks. ortogonaalikomplementti) , josta (1) seuraa. Samoin voidaan johtaa

koordinaatit kannassa Y.

on kannanvaihtomatriisi kannasta {y } kantaan {x } ({x }:sta {y }:hin).

Kannanvaihtomatriisille {x } -> {y } saadaan sievä esitys, jos kantavektorit {x } kirjoitetaan {y }-vektoreiden lineaarikombinaatioina.

Yhteensä

Kannanvaihtomatriisi {x } -> {y } on siis nxn matriisi

A:n sarakkeet muodostuvat kertoimista, jotka osoittavat miten (vanhan) kannan {x } kantavektorit voidaan lausua uuden kannan {y } lineaarikombinaatioina.

Harjoitus 5.2.1 a) Jos aliavaruus R F , niin minkä muodon kannanvaihtomatriisit saavat.

Vastaus: Jos merkitään X =X ja Y =Y, niin

b) Jos kannat {x } ja {y } ovat ortonormaalit ovat X ja Y matriisit unitaarisia (ortogonaalisia) ja

Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisit ovat unitaarisia (ortogonaalisia) (osoita).

c) Jos aliavaruus R = F ja toinen kannoista on luonnollinen, vaikkapa X = [e ,e ,...,e ] = I, on kannanvaihto helppo (osoita)

Esimerkki 5.2.1 Vektori

Lausu se kannassa

Ratkaisu: suoraan laskemalla havaitaan, että

josta

Kaavamaisesti etenemällä saadaan

josta

Kääntäen, jos tunnetaan kertoimet kannassa {y } esim.

niin kertoimet luonnollisessa kannassa ovat

Lopputuloksena on tietysti sama vektori x.