,x
,...,x
} ja {y
,y
,...,y
} kaksi avaruuden F
aliavaruuden R kantaa, luonnollisesti m 
n.
Jokainen vektori
x 
R voidaan lausua kantavektoreiden lineaarikombinaationa
Olkoot {x
,x
,...,x
} ja {y
,y
,...,y
} kaksi avaruuden F
aliavaruuden R kantaa, luonnollisesti m n.
Jokainen vektori
x R voidaan lausua kantavektoreiden lineaarikombinaationa
missä
= [
,
,...,
]
ja 
= [
,
,...,
]
ovat koordinaatit
kannoissa {x
} ja {y
} . Tehtävänä on ratkaista kertoimet kun tunnetaan tai
kääntäen.
Ratkaisu: mxn matriisien
X
ja Y
aste on n, sillä kantavektorit ovat lineaarisesti
riippumattomia. Koska kantavektorit virittävät saman aliavaruuden R,
ovat arvojoukot samat R (X
) = R (Y
). Kirjoitetaan yhtälö muotoon
Koska N (X
) = N (X
*X
) = {0} (harjoitus 3.6.4, lause 2.2.4) voidaan seuraava
yhtälö ratkaista
ja saadaan
Osoitetaan vielä, että ratkaisu toteuttaa alkuperäisen
yhtälön (1). (Sehän on vasta (2):n ratkaisu.) Yhtälön
(2) perusteella X
- Y
N (X
*), toisaalta pätee X
- Y
R (X
). Näiden aliavaruuksien leikkaus sisältää vain
nollavektorin (ks. ortogonaalikomplementti) , josta (1) seuraa. Samoin voidaan
johtaa
on kannanvaihtomatriisi kannasta {y
} kantaan {x
} ({x
}:sta {y
}:hin).
Kannanvaihtomatriisille {x
} -> {y
} saadaan sievä esitys, jos kantavektorit {x
} kirjoitetaan {y
}-vektoreiden lineaarikombinaatioina.
Yhteensä
Kannanvaihtomatriisi {x
} -> {y
} on siis nxn matriisi
A:n sarakkeet muodostuvat kertoimista, jotka osoittavat miten (vanhan)
kannan {x
} kantavektorit voidaan lausua uuden kannan {y
} lineaarikombinaatioina.
Harjoitus 5.2.1 a) Jos aliavaruus R = F
, niin minkä muodon kannanvaihtomatriisit saavat.
Vastaus: Jos merkitään X
=X ja Y
=Y, niin
b) Jos kannat {x
} ja {y
} ovat ortonormaalit ovat X ja Y
matriisit unitaarisia
(ortogonaalisia) ja
Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisit ovat unitaarisia (ortogonaalisia) (osoita).
c) Jos aliavaruus R = F
ja toinen kannoista on luonnollinen, vaikkapa
X = [e
,e
,...,e
] = I, on kannanvaihto helppo (osoita)
Esimerkki 5.2.1 Vektori
Lausu se kannassa
Ratkaisu: suoraan laskemalla havaitaan, että
josta
Kaavamaisesti etenemällä saadaan
josta
Kääntäen, jos tunnetaan kertoimet kannassa {y
} esim.
niin kertoimet luonnollisessa kannassa ovat
Lopputuloksena on tietysti sama vektori x.
