4.4 Lineaarisesti riippumattoman vektorijoukon ortonormeeraus

QR-hajotelmalla voidaan helposti ortonormeerata annettu lineaarisesti riippumaton. vektorijoukko. Tuloksena on saman aliavaruuden virittävä ortonormaali kanta. Kaupan päällisiksi saadaan ortogonaalikomplementin ortonormaali kanta.

Olkoon {x ,x ,...,x } F :n lineaarisesti riippumaton vektorijoukko (mn) ja olkoon

Muodostetaan mxn matriisi X = [x ,x ,...,x ]. Sen aste rank(X) = n (miksi). Olkoon X:n QR-hajotelma muotoa

Suoraan laskemalla havaitaan, että

missä R on neliöyläkolmiomatriisi. Sen diagonaalialkiot ovat nollasta poikkeavia, joten R :n ei-singulaarisuuden perusteella (lause 3.4.1)

{q ,q ,...,q } on ortonormaali joukko , sillä sen vektorit ovat unitaarisen matriisin sarakevektoreita {q ,q ,...,q } (Harjoitus 1.7.3). Lisäksi havaitaan, että

joten x ja q ovat saman suuntaiset.

Harjoitus 4.4.1 Tunnettu vektorijoukon ortonormeerausmenetelmä on Gram-Schmidtin menetelmä. Johda se QR-hajotelmasta, jossa R:n diagonaalialkiot ovat positiiviset, tutkimalla X:n ja Q:n vektoreiden välisiä vuorovaikutuksia. Gram-Schmidtin menetelmä ei numeerisesti ole yhtä hyvä kuin QR-menetelmä. G-S:n menetelmä saattaa toimia numeerisesti kelvottomasti tilanteessa, jossa alkuperäisen kannan vektorit ovat lähes lineaarisesti riippuvat.

Esimerkki 4.4.1 Neliömatriisin A QR-hajotelma voidaan muodostaa näppärästi Choleskyn hajotelman avulla. Olkoon rank(A) = n. Yritetään ratkaista yhtälöstä

QR

unitaarinen Q ja yläkolmio R. Kerrotaan yhtälö A*:llä vasemmalta

A*R*Q*QR R.

Pitäisi siis osata jakaa positiivisesti definiitti (rank(A) = n) matriisi A*A yläkolmiomatriisin ja sen konjugaattitranspoosin tuloksi. Tämä saadaan muodostamalla A*A:n Choleskyn hajotelma, ja valitsemalla G*. Choleskyn hajotelman antama G on alakolmiomatriisi joten R:stä tulee yläkolmiomatriisi. Näin on R selvinnyt. Ratkaistaan Q yhtälöstä Q = AR . Saatu Q on unitaarinen, sillä

Q*= (R*) A*AR = (R*) R*RR I.

Lause 4.4.1. Ortonormaalin kannan täydentäminen. Olkoon S   F aliavaruus, ja {x ,x ,...,x } sen kanta (nm). Tällöin on olemassa F :n ortonormaali kanta

siten, että

Todistus. Merkitään X = [x ,x ,...,x ] ja sovelletaan Householderin ortonormeerausprosessia mxn matriisiin X. Lopputulos on

missä R on nxn yläkolmiomatriisi. Lauseen 3.4.1 perusteella

Vektorit {q ,q ,...,q ,q ,...,q } ovat ortonormaaleita F :n vektoreita

ja siten ne muodostavat sen ortonormaalin kannan.

Koordinaattien määrittäminen ortonormaalissa kannassa voidaan johtaa luvussa 3 esitetystä koordinaattien yleisestä laskukaavasta. Koska tulosta käytetään paljon annetaan se tässä erikseen.

Lause 4.4.2. Olkoon {q ,q ,...,q } avaruuden F ortonormaali kanta. Jokainen avaruuden vektori voidaan esittää kantavektorien lineaarikombinaationa s.e.

Lisäksi

.

Todistus. Jokainen avaruuden vektori vektori voidaan esittää kantavektoreiden lineaarikombinaationa

.

Tästä ratkaistaan kerroinvektori c.

.

Edelleen, koska Q on unitaarinen matriisi, niin

Lause 4.4.3. Olkoon R   F aliavaruus. Tällöin

Todistus. Lauseen 4.4.1 perusteella R:n kanta {x ,...,x } voidaan täydentää F :n ortonormaaliksi kannaksi {q ,q ,...,q ,q ,...,q } s.e. R = span {q ,q ,...,q }. Osoitetaan, että

Helposti nähdään, että span{q ,q ,...,q  R. Olkoon nyt x vektori R:ssa. Koska {q ,q ,...,q ,q ,...,q } muodostaa kannan, voidaan x antaa muodossa

Koska x   R ovat sisätulot <q , x> = 0 , kun i=1,...,n. Siis

Lause 4.4.4 . Olkoon x   F  =  R. Vektori x voidaan yksikäsittei

sesti jakaa osiin

Vektoria x sanotaan x:n ortogonaaliprojektioksi aliavaruudessa R.

Todistus. Jako x = x  + x on yksikäsitteinen, koska summa on suo

ra. <x x > = 0 suoraan R:n määritelmän perusteella. Itse asiassa

x  + x

kun {q ,...,q } on edellä muodostettu R   R:n ortonormaali kanta

Harjoitus 4.4.2 Olkoon S aliavaruus. Osoita, että (S) = S

Harjoitus 4.4.3 Olkoon A mxn matriisi. Osoita, että