4.2 Householderin matriisi

Luvussa 2 havaittiin, että kertomalla matriisia Avasemmalta Gaussin eliminaatiomatriiseilla voitiin A muokata yläkolmiomatriisiksi. Samanlainen lopputulos voidaan saada myös unitaarisilla Householderin matriiseilla. Unitaarisilla matriiseilla kertominen ei muuta vektoreiden pituutta, vain suuntaa. Tästä seuraa, että niillä laskeminen on numeerisesti turvallista.

Olkoon v  0 F :n vektori. Householderin matriisi on hermiittinen, unitaarinen muotoa

oleva mxm matriisi.

Harjoitus 4.2.1 Osoita, että että P on hermiittinen ja unitaarinen.

Kuva 4.2.1 Householderin matriisin välittämä kuvaus. Vektori x muutetaan "peilikuvakseen" vektorin v ortogonaalikomplementin {v} suhteen.

Olkoon x  0 F :n vektori. Pyritään valitsemaan vektori v Householderin matriisissa siten, että

Px= e .

Koska harjoituksen 4.2.1 perusteella P on unitaarinen, niin || Px ||=|| x ||, joten || =|| x ||. Syistä, jotka ilmenevät myöhemmin, etsitään ratkaisua muodossa

Px= - e ||x ||e .

Kun otetaan huomoon P:n lauseke, saadaan yhtälö

josta saadaan

Jotta yhtälöllä olisi ratkaisu, niin kummankin puolen on oltava saman suuntaisia. Siis on oltava

missä on toistaiseksi määräämätön kerroin. Kun sijoitetaan v:n lauseke edelliseen kaavaan, niin saadaan

Koska :t ovat supistuneet pois, on kerroin valittava niin että yhtälö toteutuu. Kerrotaan sisätulot auki, jolloin saadaan yhtälö

missä x on x -vektorin ensimmäinen alkio. Edelleen

Alkio x on yleisesti ottaen kompleksiluku, ja se voidaan antaa polaarimuodossa x = e |x |. (x 0) Kun sijoitetaan tämä yhtälö edelliseen , niin ratkaisut ovat:

= tai =+.

Verrataan ratkaisuita. Kun katsotaan Householderin matriisin lauseketta, niin se on numeerisesti helppo laskea, jos vektorin v normi ei mene pieneksi. Tähän voidaan vaikuttaa, sillä

Jos =, niin

Jos = +, niin

.

Edellinen ratkaisu on numeerisesti hyvä. Jälkimmäisessä v -vektori voi mennä nollaksi. Valitaan siis = ja etsitty vektori on

Edellä tuli osoitettua, että v:n valinta ei riipu kertoimesta , joten valitaan se ykköseksi. Jos |x |=0, niin valitaan =0. Piste.

Esimerkki 4.2.1 Olkoon x = [3,1,5,1] . Muodostetaan Householderin matriisi P siten, että

Valitaan

Suora sijoitus kaavaan antaa