4.1 Johdanto

Tässä luvussa osoitetaan, että annettu korkea mxn,(mn ) matriisi A, jonka aste on n, voidaan hajoittaa mxm unitaarisen matriisin Q ja mxn yläkolmiomatriisin R tuloksi:

A = QR

QR-hajotelmaa käytetään useassa yhteydessä, mm. pienimmän neliösumman ratkaisun muodostamisessa yhtälölle Ax=b. (unitaarisella Q:lla kertominen ei muuta normia) ja yllättävää kyllä paras yleiskäyttöinen ominaisarvojen laskumenetelmä perustuu QR-hajotelmaan.

QR-hajotelmaa käytetään myös kun F :n aliavaruuteen S halutaan muodostaa ortonormaali kanta. Alkuperäisen kannan vektoreista muodostetaan A, ja Q:n n:stä ensimmäisestä sarakkeesta löytyvät halutut kantavektorit. Loput sarakevektorit muodostavat S :n ortonormaalin kannan.