3.6 Lineaarialgebran käsitteiden sovellutuksia matriisilaskennassa

Matriisin sarakeaste ja riviaste. mxn-matriisin A riviaste on lineaarisesti riippumattomien. vaakarivivektorien lukumäärä, sarakeaste on lineaarisesti riippumattomien sarakevektorien lukumäärä.

Esimerkki 3.6.1 Olkoon

lasketaan sen rivi- ja sarakeaste.

riviaste:

 [2,1,3] +  [4,5,7] = [2 + 4, + 5,3 + 7] = [0,0,0]

=>  = 0,  = 0

on ainoa ratkaisu. Lineaarisesti riippumattomia rivejä on kaksi ja riviaste = 2.

sarakeaste:

Tästä saadaan monia ratkaisuja

Siis systeemi on lin.rva ja sarakeaste < 3. Vektorit

sitä vastoin ovat lineaarisesti riippumattomia, joten sarakeaste = 2.

Harjoitus 3.6.1 Olkoon U LU-hajotelman mukainen mxn yläkolmiomatriisi. Sen riviaste = sarakeaste.

Lause 3.6.1 mxn-matriisin A sarakeaste = riviaste.

Todistus. LU-hajotelma yleisessä tapauksessa tuotti tuloksen

PA = LU ,

missä mxn -matriisi U on aikaisemmin esitettyä muotoa, (katso mxn matriisien LU-hajotelmaa ) U:n vaakarivit, jotka ovat  0, ovat lineaarisesti riippumattomia. Olkoon näitä r kpl. U:n sarakkeet, joissa * esiintyy (yhteensä r kpl), ovat lin. rtt. Muut U:n sarakkeet voidaan lausua näiden lineaarikombinaatioina, joten U:n sarakeaste on r.

Koska PA = LU, ja P on mxm permutaatiomatriisi, on P LU, missä matriisi P L on ei-singulaarinen. Täsmälleen samat A:n pystyrivit ovat lineaarisesti riippuvia tai riippumattomia kuin U:n.

sillä ei-singulaarisella matriisilla kertominen ei harjoituksen 3.2.1 perusteella muuta vektoreiden {u , u ,..., u } lineaarista riippuvuutta tai riippumattomuutta, joten A:n sarakeaste on r.

Osoitetaan, että myös A:n vaakariviaste = r. Olkoon aluksi P = I, ja annetaan A vaakariviesityksenä

joten lauseen 3.4.1 ja L:n ei-singulaarisuuden perusteella

Koska

ovat lineaarisesti riippumattomia vektoreita on jälkimmäisen aliavaruuden dimensio r. Tästä seuraa, että myös edellisen aliavaruuden dimensio on r ja silloinhan matriisin A r:n vaakavektorin on oltava lineaarisesti riippumattomia.

Yleisessä tapauksessa permutaatiomatriisi P  I ,mutta sillä kertominen vain vaihtaa vaakarivejä keskenään, eikä vaikuta todistukseen. Näin lause tulikin todistuksi ja

vaakariviaste (A) = sarakeaste (A) = r.

Matriisin aste (ranki) rank(A) = r on sen lineaarisesti riippumattomien vaaka- tai pystyrivien lukumäärä.

Harjoitus 3.6.2 rank(A) = rank(A ).

Lause 3.6.2 dim R (A) = rank(A).

Todistus. Olkoon rank(A) = r.Tällöin matriisissa A on r sarakevektoria, a a ,...,a , jotka ovat lineaarisesti riippumattomia ja muut sarakevektorit voidaan lausua näiden lineaarikombinaatioina. Arvojoukon määritelmän mukaan

koska {a , a ,...,a } on R (A):n kanta. Siis dim R (A) = r. Samoin helposti osoitetaan, että jos dim R (A) =  r, niin rank(A) = r.

Lause 3.6.3 Olkoon A mxn- matriisi, ja P ja Q ei-singulaarisia mxm ja nxn matriiseja. Tällöin

Todistus. Olkoon rank(A) = r. Sillä on r lin.rtt. sarakevektoria. Ei-singulaarisella matriisilla P kertominen ei muuta niiden lukumäärää, jotenrank(A) = rank(PA). Jatko transpoosin ja tuloksen rank(A ) = rank (Q A ) avulla jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 3.6.4 Dimensiolause. Jokaisella  F , pätee

Todistus. Olkoon dim(N (A)) = q > 0 .Täydennetään N (A):n kanta

{r r ,...,r } F :n kannaksi (qn) .

Osoitetaan, että vektorit {Ar ,...,Ar  F muodostavat R (A):n kannan.

1. Viritys. Jos y  R (A), niin on olemassa   x  F s.e. y = Ax. Edelleen vektori x, voidaan antaa F :n kantavektorien lineaarikombinaationa.

Tästä seuraa, että

sillä r   N (A),  i=1,...,q.

Havaitsemme että jokainen y voidaan lausua vektoreiden Ar , i = q+1,...,n lineaarikombinaationa.

2 Lin. riippumattomuus. Olkoon

Jos olisi

niin N (A):n vektori z olisi lineaarisesti riippumaton N (A):n kantavektoreiden {r , r ,..., r } kanssa! Mahdotonta! Siis = 0  =>   = 0, i = q+1,...,n.

Edellisen perusteella vektorit {Ar ,..., Ar } muodostavat R (A):n kannan, ja

joten

Lauseen todistusta ja tulosta havainnollistaa seuraava kuva.

Kuva 3.6.1 mxn matriisi A on kuvaus F avaruudesta F avaruuteen. Kumpikin avaruuksista voidaan jakaa kuvan esittämällä tavalla kahden ortogonaalisen aliavaruuden summaksi (tämä todistetaan myöhemmin).

Harjoitus 3.6.3 Osoita, että lause 3.6.4 pätee myös, jos N (A) = {0} tai R (A) = {0}.

Harjoitus 3.6.4 Olkoon A mxn ja B nxp -matriisi. Osoita, että

a) N (A*A) = N (A)

b) rank(A*A) = rank(A)

c) rank (AB ) min (rank (A), rank (B)).