3.5 Kannan olemassaolo ja sen muodostaminen

Lause 3.5.1 Jokaisessa F :n aliavaruudessa S ( S  {0} ) on kanta.

Todistus. Olkoon x   S, x   0. Merkitään

Jos S  S , niin on olemassa x   S s.e x    S , joten x on lineaarisesti riippumaton x :n kanssa. Merkitään

Jos S  = S, on kanta löydetty. Ellei, etsitään x    S jne.

k:s kierros

jos S  = S, on kanta löydetty, ellei niin on olemassa x   0 s.e. x   S , joten x on lineaarisesti riippumaton vektoreiden

x ,.., x kanssa. Valitaan

Jatkamalla tähän tyyliin kanta löytyy, sillä harjoituksen 3.4.3. perusteella etsittyjä vektoreita x voi olla korkeintaan n kpl, ja silloin (jos niitä on mkpl) S = S.

Osoitetaan vielä tarkasti , että valitut x -vektorit ovat todella lineaarisesti riippumattomia.

Antiteesi: ne ovat lineaarisesti riippuvia, joten on olemassa kertoimet , i = 1,...,n s.e.

Olkoon  0 ensimmäinen nollasta poikkeava kerroin oikealta lukien. Jos näin on , niin

ja syntyy paha ristiriita, sillä valitsemistapansa perusteella

x   S . Siispä vektorit ovat lineaarisesti rippumattomia.

Harjoitus 3.5.1 Olkoon S = span{ x , x ,...,x }. Sen kanta voidaan muodostaa seuraavasti: Lähdetään liikkeelle vasemmalta.

1) Valitaan ensimmäinen nollasta eroava vektori x   0.

2) Siirrytään oikealle, kunnes löytyy ensimmäinen vektori x , i2 > i1, s.e. x on lin.rtt. x :n kanssa.

3) Siirrytään oikealle, kunnes löytyy ensimmäinen vektori x , joka on lineaarisesti riippumaton vektoreiden {x , x } kanssa, ts.

x span{x , x }.

4) Jatketaan kunnes vektorit loppuvat. Näin on saatu kanta

Lause 3.5.2 (Aliavaruuden kannan täydentäminen). Olkoon R  aliavaruus, jonka kanta on {r ,r ,...,r } ( m < n ). Lisäksi

missä S on toinen aliavaruus. Tällöin on olemassa S:n kanta

{r ,r ,...,r ,r ,...,r }.

jonka m ensimmäistä vektoria ovat samat kuin R  :n kannassa.

Todistus. Valitaan r   S siten, että r  R  . Tällöin

 = span{r ,r ,...,r }, ja dim  = m+1. Jos R   S, jatketaan menettelyä, kunnes on saatu S:n kanta.

Jos R   = {0}, haetuksi kannaksi voidaan valita S:n mikä tahansa kanta.

Huomautus. Tästä seuraa, että

kun R ja S ovat aliavaruuksia.

Harjoitus 3.5.2 Olkoot R  ja R  aliavaruuksia. Osoita, että

dim(R    R   {0, 1, 2,..., min(dim, dim)}

dim(R   + R  ) = dim + dim - dim(R    R 

Edellisen yhtälön perusteella

Koordinaatit. Olkoot x ,x ,...,x aliavaruuden  F kantavektorit. Jokainen  R voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa

missä kertoimia sanotaan koordinaateiksi (kannassax }).

Koordinaatit ovat yksikäsitteisiä, sillä jos olisi

sillä vektorit x ovat lineaarisesti riippumattomat.

Koordinaattien laskeminen voidaan suorittaa seuraavalla tavalla. Täydennetään aliavaruudenkanta {x ,x ,...,x } koko avaruuden kannaksi {x ,x ,...,x ,..,x }, siten että R :n alkuperäiset kantavektorit säilyvät. Annettu vektori x R voidaan esittää seuraavalla tavalla

Kantavektoreista muodostettu nxn-matriisi X on ei-singulaarinen, joten kertomalla sen inverssillä vasemmalta saadaan yhtälö

Kaavaa voidaan parantaa merkitsemällä Y*=X , ja kirjoittamalla Y sarakevektorimuotoon Y=[y ,y ,...,y ]. Nyt

ja siis = < y , x>, i=1,2,..,m, ja < y , x> =0 , kun i=m+1,...,n.

Esimerkki 3.5.1 R :n kanta on {e ,e }, ja sen jokainen vektori on muotoa

Esimerkiksi

Avaruudessa voi olla muitakin kantoja,kuten

jossa

Kuva 3.2.1. Vektori x annettuna kahdessa kannassa esimerkin 3.5.1. mukaisesti.