3.4 Aliavaruuden virittävä joukko, kanta, dimensio

Aliavaruus voidaan usein muodostaa annetun virittävän vektorijoukon

avulla. Näiden vektoreiden virittämää aliavaruutta merkitään

Harjoitus 3.4.1 Osoita, että span{x ,...,x } on F :n aliavaruus.

Harjoitus 3.4.2 Olkoon  span{x , x ,...,x }. Osoita, että y = X , missä X = [x ,x ,..,x ] on viritysvektoreista muodostuva nxm-matriisi.

Lause 3.4.1 Olkoon S ei-singulaarinen mxm matriisi ja

Tällöin

Todistus. Olkoon x aliavaruuden span{x ,x ,...,x } vektori. Jos merkitään X = [x ,x ,..,x ] ja Y = [y ,y ,..,y ], niin X=YS , ja vektori voidaan kirjoittaa muodossa

missä

 = S ,

joten

ja

Koska S on ei-singulaarinen, on Y = X S ja samoin kuin edellä osoitetaan, että span{y ,y ,...,y  span{x ,x ,...,x }. Näin lause on todistettu.

Kanta. Olkoon S   F aliavaruus. Jos on olemassa vektorijoukko {x ,...,x } s.e.

a) S = span {x ,x ,...,x }

b) {x ,x ,...,x } on lineaarisesti riippumaton,

niin {x ,x ,...,x } on S:n kanta.

Esimerkki 3.4.1 Ravintoaineavaruuden kannaksi voidaan valita vektorit ahven, hauki, makkara, tomaatti ja leipä, sillä jokainen R :n vektori voidaan lausua näiden lineaarikombinaationa. Muitakin kantoja voidaan valita, esimerkiksi e ,e ,e ,e ,e .

Lause 3.4.2 Olkoon  F aliavaruus ja {x ,x ,...,x } ja {y ,y ,...,y } sen kantoja. Tällöin = k.

Todistus. Olkoon > k. (Jos m, vaihdetaan ao. todistuksessa x ja y -kannat keskenään). Koska {y ,y ,...,y } on kanta, niin on olemassa kertoimet a s.e.

tai lyhyesti

ja kaikki vektorit yhdessä

Matriisi A on muodostamistapansa perusteella leveä kxm matriisi. Osoitetaan seuraavaksi että yhtälöllä A  = 0 on ei-triviaali ratkaisu. Tämän yhtälön ratkaisu on myös mxm matriisiyhtälön ratkaisu.

komponenteittain kirjoitettuna

A täydennetään siis neliömatriisiksi lisäämällä alimmaisiksi m-knollavaakariviä. Koska

matriisiyhtälöllä A  = 0 on ei-triviaali ratkaisu   0. (Lause 2.6.1) Tällöin X  = YA  0, joten X -matriisin sarakevektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Tämä on ristiriita, sillä ne ovat kantavektoreita. Siis m = k. q

Esimerkki 3.4.2

on F :n kanta, sillä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

ja jokaisella x F

joten jokainen x   F voidaan esittää e -vektoreiden lineaarikombinaationa.

Dimensio. Kantavektoreiden lukumäärä on aliavaruuden S dimensio, dim(S).

Esimerkki 3.4.3 dim(R ) dim(C ) = n , ja dim{0} = 0.

Harjoitus 3.4.3 Mitkä tahansa n+1-vektoria F :ssä ovat lineaarisesti riippuvia.

Harjoitus 3.4.4 Nollavektori ei käy kantavektoriksi. Miksi ?

Harjoitus 3.4.5 Aliavaruuksien kantojen yhdistäminen. Olkoon

ja {x x ,...,x } S :n ja {x ,...,x } S :n kanta. Osoita, että

{x ,...,x x ,...,x } on S:n kanta.

Vihje: Osoita, että ehdotetut kantavektorit kuuluvat S:ään ja että ko. vektorijoukko virittää S:n ja että se on lineaarisesti riippumaton.