3.3 Aliavaruuksista

Aliavaruus. Olkoon S F :n ei-tyhjä joukko. Jos

niin S on aliavaruus.

Aliavaruuden määritelmässä siis vaaditaan, että se on vektorilaskennan suhteen suljettu: vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen tulokset pysyvät aliavaruudessa.

Huom. Edellisen määritelmän perusteella myös R , C (siis myös F ) ovat aliavaruuksia.

Harjoitus 3.3.1 Osoita että

a) {0} on aliavaruus.

b) nollavektorin muodostama joukko on lineaarisesti riippuva.

Aliavaruuksien summa ja leikkaus.

Lause 3.3.1. Olkoot R  ja R  kaksi aliavaruutta F :ssä. Niiden summa

ja leikkaus

ovat aliavaruuksia.

Todistus. Aloitetaan aliavaruuksien summasta. Se on ei-tyhjä, sillä nollavektori kuuluu sekä R  :een että R  :een, ja 0=0+0, joten nollavektori kuuluu aliavaruuksien summaan. Valitaan kaksi vektoria

ja osoitetaan, että niiden lineaarikombinaatio x+ y kuuluu tähän samaan joukkon. Molemmat vektorit voidaan jakaa osiin s.e. x=x +x , y=y +y , ja x ,y R , x , y R . Niiden lineaarikombinaatio on

x+ y=(x +x )+ (y +y )= x + x + y + y

= ( x + y )+( x + y ).

Koska R on oletuksen perusteella aliavaruus, ja x ja y sen vektoreita, niin niiden lineaarikombinaatio x + y R . Samoin

x + y R . Tästä seuraa, että x+ y R +R .

Toisen väitteen todistus jätetään harjoitustehtäväksi. q

Jos R     R   = {0}, on aliavaruuksien summa suora. Sitä merkitään

Lause 3.3.2. Jos summa R   + R  on suora, on jokaisella

yksikäsitteinen esitys

Todistus. Olkoon x=x +x = y +y ,missä x ,y R , x , y R . Tästä seuraa, että

x - y = y -x ,

yhtälön vasen puoli kuuluu aliavaruuteen R , ja oikea puoli R .:een. Koska näiden leikkaus on nollavektori, on oltava

x - y = 0 = y -x ,

joten x =y ja y =x , ja lause on todistettu

Matriisin arvojoukko ja ydin. mxn- matriisin A arvojoukko määritellään yhtälöllä

ja ydin

Lause 3.3.3 Arvojoukko ja ydin ovat ovat aliavaruuksia F :ssä ja F :ssä.

Todistus. Todistetaan, että ydin on aliavaruus. Ensinnä 0 -vektori kuuluu ytimeen,sillä A 0=0, joten se on ei-tyhjä. Olkoot x, y N(A). Koska matriisilaskusääntöjen mukaan

A( x+ y)= Ax+ Ay=0+0=0,

niin x+ y N(A), ja väite on todistettu. Edellisen väitteen todistus jätetään harjoitustehtäväksi. q

Ortogonaaliset aliavaruudet, ortogonaalikomplementti.

Olkoon S avaruuden F joukko. Sen ortogonaalikomplementti

on aliavaruus. (osoita). Aliavaruudet S ja R ovat ortogonaaliset, jos

Ortogonaalisten aliavaruuksien summa on suora, sillä yhtälön <x,x>= 0 ainoa ratkaisu on x = 0. Ortogonaalisten aliavaruuksien summaa merkitään

 R .

Lause 3.3.4. Olkoon A mxn- matriisi. Tällöin

a)

b)

Todistus.

a)

b) Seuraa suoraan a)-kohdan perusteella.