3.2 Käsitteitä

Lineaarinen riippumattomuus. Vektorijoukko {x ,..., x  F on lineaarisesti riippumaton, (lin.rtt.) jos yhtälöllä

on vain triviaaliratkaisu  = 0, i=1,...,m. Jos {x ,...,x } ei ole lin.rtt., on se lineaarisesti riippuva (lin. rva.). Tällöin on olemassa ainakin yksi    0 s.e. eo. yhtälö toteutuu ja vektori x voidaan lausua muiden vektoreiden lineaarikombinaationa

Lause 3.2.1 nxn-matriisi A on ei-singulaarinen jos ja vain jos sen sarakevektorit (rivivektorit) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Todistus. Koska huomautuksen 1.4.2 perusteella

niin

Vastaava tulos rivivektoreille saadaan tarkastelemalla A:n transpoosia A ja muistamalla, että det(A) = det(A ).

Kuva 3.2.1. Samassa origon kautta kulkevassa tasossa olevat vektorit x x x ovat lineaarisesti riippuvia. Sen sijaan vektorit x x y ovat lineaarisesti riippumattomia.

Harjoitus 3.2.1 Olkoon S ei-singulaarinen nxn neliömatriisi.

F :n vektorijoukko

{ x ,x ,..,x } on lin. rtt.(rva) <=> {Sx ,Sx ,..,Sx } on lin.rtt.(rva).

Harjoitus 3.2.2 Ortogonaalinen vektorijoukko on lineaarisesti riippumaton.

Harjoitus 3.2.3 Olkoon {q ,q ,..,q } ortonormaali vektorijoukko ja vektori y niiden lineaarikombinaatio

ratkaise kertoimet c .

Vihje: Laske yo. yhtälön sisätulot vektorien q kanssa.

Esimerkki 3.2.1 Johdannossa esitetyn ravintoainematriisin determinantti on 1.5150*10 , joten se on ei-singulaarinen ja sen sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat. Yhtäkään taulukossa olevista eineksistä voi esittää muiden lineaarikombinaationa, ts. yhdistelemällä haukea, makkaraa, tomaatteja ja näkkileipää ei synny ahventa. Jos einekset olisivat lineaarisesti riippuvia, voisi käydä niitä sopivasti yhdistelemällä (myös negatiiviset kertoimet sallitaan) saataisiin 0 -vektori, eli ruoka, jossa ei olisi yhtään haitallista ainetta!