2.6. Käänteismatriisi LU-hajotelman avulla

LU-hajotelman avulla saadaan uutta tietoa käänteismatriisista: jos det(A 0, onA:lla käänteismatriisi, joka voidaan muodostaa ratkaisemalla yhtälöryhmät

Yhteensä

joten AX = I. Tästä seuraa determinanttien laskusääntöjen perusteella, että

det(AX) = det(A) det(X) = 1 = det(I),

joten det(X 0, ja kuten edellä, lauseen 2.2.3 avulla voidaan löytää nxn -matriisi Y s.e.

XY = I.

kerrotaan yhtälö A:lla vasemmalta

Siis AX = XA = I, eli = A .

Olemme lähes todistaneet seuraavan lauseen:

Lause 2.6.1 Olkoon A nxn- matriisi. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit:

(a) det(A 0

(b) on olemassa  A  s.e. AA  = A A = I

(c) yhtälöllä Ax = b on yksikäsitteinen ratkaisu

x = A b,   b

(d) Ax = 0 <=> x =  0

Todistus.

(a) => (c) => (b) seuraa helposti lauseen 2.2.4 ja ylläolevan perusteella

(b) => (a):  1= det(I) det(AA ) = det(A)det(A =>det(A)   0.

(c) => (d) : triviaali (valitse b=0).

(d) => (a) : Tehdään vastaoletus (antiteesi). Oletetaan, että (d) pätee ja

det(A) = 0 ja osoitetaan, että tämä johtaa ristiriitaan.

Koska det(A) = 0, on jokin pivot-alkioista

(samoin kuin sen alapuoliset alkiot). Tällöin eliminointi päättyy seuraavaan matriisiin, jota merkitään :lla

Matriisi A on yläkolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot

aikaisempina pivot-alkiona, joten A on olemassa.Valitaan

Kertomalla x :lla vasemmalta saadaan:

mikä on ristiriidassa oletuksen (d) kanssa. Siis (d) => (a) ja lause on todistettu.