LU-hajotelma singulaarisille ja mxn-matriiseille

Olkoon A mxn- matriisi. Sovelletaan Gaussin eliminaatiota aikaisempaan tapaan, rivejä vaihdellen, mikäli tarpeellista. Voi kuitenkin käydä niin, että pivot-alkio on nolla ja kaikki sen alapuoliset alkiot samassa sarakkeessa ovat nollia. Tällöin jatketaan eliminointia tavalliseen tapaan samalla vaakarivillä, mutta seuraavassa sarakkeessa. Esimerkki selvittänee menettelyn.

Esimerkki 2.5.1 Olkoon

joten

1. askel

havaitaan, että

Siirrytään kolmanteen sarakkeeseen ja vähennetään 2. rivi kolmannesta ja neljännestä. Näin saadaan

ja

Yleisesti lopputulos on muotoa

missä *:llä on merkitty nollasta poikkeavia alkioita ja x:llä alkioita, jotka voivat olla nollia tai erisuuria kuin nolla.

Lopulta saadaan, kuten aikaisemminkin

PA = LU,

missä P on mxm permutaatiomatriisi, L on mxmei-singulaarinen alakolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat ykkösiä ja U on yo. muotoa oleva mxnyläkolmiomatriisi.