2.4 LU-hajotelma hermiittisille ja positiivisesti definiiteille matriiseille

Lause 2.4.1 (L-D-M* -hajotelma.) Oletetaan, että neliömatriisin A pääalideterminantit ovat nollasta poikkeavia ja LU on sen LU-hajotelma. Tällöin A voidaan hajoittaa s.e.

A = LDM*

missä D on diagonaalimatriisi ja M on alakolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat ykkösiä.

Todistus. Matriisin A LU-hajotelma voidaan muodostaa ilman permutaatiomatriisia lauseen 2.2.1 perusteella. Lisäksi A:n pivot-alkiot ovat nollasta poikkeavia. Pivot -alkiot ovat U -matriisin diagonaalialkioita. Valitaan D = diag[u , u ,...., u ] (ts. se muodostuu U:n diagonaalialkioista).

= LU = LDD = LDM*,

kun M= (D U)*.

Lause 2.4.2 (L-D-L* -hajotelma.) Olkoon Ahermiittinen matriisi, jonka pääalideterminantit ovat nollasta poikkeavia. Jos = LDM* on sen L-D-M* hajotelma, niin L = M.

Todistus. Edellisen lauseen perusteella matriisilla on LDM* hajotelma. Matriisi M A (M )* = M LD on hermiittinen alakolmiomatriisi ja siten diagonaalinen. Koska D on ei-singulaarinen diagonaalimatriisi, M L on myös diagonaalimatriisi. M on alakolmiomatriisi jonka diagonaalialkiot ovat ykkösiä ja sellainen on harjoituksen 1.6.7 perusteella myös M . L on samanlainen alakolmiomatriisi. Tulon M L diagonaalialkiot ovat ykkösiä, joten M I ja siis M.

Esimerkki 2.4.1.

Lause 2.4.3 (Choleskyn hajotelma) Olkoon A hermiittinen matriisi, jonka pääalideterminantit ovat positiivisia. A voidaan hajottaa s.e.

A = GG*,

missä G on alakolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat positiivisia.

Todistus. Edellisen lauseen perusteella = LDL*. Koska pääalideterminantit ovat positiivisia, niin myös pivot alkiot ovat positiiviset. Ne ovat D:n diagonaalialkioita, jotka siis myös ovat positiivisia. Merkitään

ja valitaan

LD ,

joten lause on todistettu. (Tarkista, että A=GG*)

Seuraavassa harjoituksessa osoitetaan, että hermiittisen matriisin pääalideterminanttien positiivisuudesta seuraa se, että matriisi on positiivisesti definiitti. Käänteinen väite todistetaan myöhemmin ominaisarvojen avulla: jos (hermiittinen) matriisi on positiivisesti definiitti, niin sen pääalideterminantit ovat positiivisia. Tämän perusteella lause 2.4.3 pätee positiivisesti definiiteille matriiseille.

Harjoitus 2.4.1. Olkoon matriisi A hermiittinen ja sen pääalideterminantit ovat positiivisia. Osoita, että A on positiivisesti definiitti.

Vihje: Lause 2.4.3.

Esimerkki 2.5.1 Olkoon

Tarkista, että A on positiivisesti definiitti.