2.3 LU-hajotelma nauhamatriiseille

Mikäli matriisilla A on nauhamatriisin rakenne, ja hajotelma voidaan muodostaa ilman permutaatioita, säilyy nauhamatriisin rakenne ja nauhanleveys LU-hajotelmassa. Tästä on paljon hyötyä laskennassa. Jos matriisit ovat suuria, niin muistilan tarve pysyy pienempänä. Laskennassa voidaan lisäksi käyttää hyväksi tietoa siitä, että osa alkiosta on valmiiksi nollia.

Lause 2.3.1 Olkoon A nxn nauhamatriisi, jonka nauhanleveys on q. Olkoon = LU sen LU-hajotelma (siis ilman permutaatioita) Tällöin L:n ja U:n nauhanleveys on q.

Todistus. (Induktio n:n suhteen). Hajotetaan Aseuraavasti:

Oletuksen perusteella matriisin B-vw / nauhanleveys on q (matriisin vw nauhanleveys on q-1). Olkoon L U tämän matriisin LU-hajotelma (permutaatiomatriisitta, oletamme). Induktio-oletuksen perusteella L :n ja U :n nauhanleveys on q. Vektoreiden w ja vrakenteen perusteella matriiseilla

on haluttu nauhanleveys, ja A = LU.

Harjoitus 2.3.1 Muodosta matriisin

LU-hajotelma.