2.1 Johdanto

Kappaleessa tarkastellaan yhtälöryhmän

Ax = b,

missä A on mxn matriisi ja b m- vektori ratkaisemista, ns. Gaussin eliminaatiomenetelmällä. Se johtaa tietokonelaskentaan hyvin soveltuvaan matriisin A LU-hajotelmaan. Lopputuloksena saadaan

A = LU,

missä L on mxm alakolmiomatriisi ja U mxn yläkolmiomatriisi. Saatua hajotelmaa käytetään sitten linaarisen yhtälöryhmän ratkaisuun ja matriisin kääntämiseen. Mikäli A on nauhamatriisi, jollainen tavallisesti syntyy osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa, osoittautuu että myös L ja U matriisit pysyvät nauhamatriiseina. Tämä on hyödyllinen ja muistitilaa säästävä ominaisuus.

Tarkastellaan aluksi neliömatriiseita ja vasta sitten yleistä mxn matriisia. Matriisin A LU-hajotelma muodostetaan kertomalla A:ta ns. Gaussin matriiseilla vasemmalta, kunnes jäljellä on yläkolmiomatriisi.