11.5 Suppenemisesta spektrillä

Tarkastellaan seuraavaa probleemaa.

Jos f () -> f(), kun -> , niin milloin f (A) -> f(A) ?

Olkoon edelleen

A:n minimipolynomi ja :t sen erisuuria ominaisarvoja.

Määritelmä. Jos

niin sanotaan että f  -> f A:n spektrillä, kun -> .

Kun f  -> f A:n spektrillä, niin myös r  -> r A:n spektrillä, missä r , r ovat f :n ja f:n Lagrangen interpolaatiopolynomit.

Koska f  -> f A:n spektrillä , suppenee myös interpolaatiopolynomi

Erikoisesti tästä seuraa, että r ():n kertoimet -> r():nkertoimia. Siis

Koska kertoimet r  -> r , seuraa tästä myös

joten

kun -> , joten matriisijono f (A) suppenee kohti f(A):ta.

Määritelmä (Spektrisäde). nxn -matriisin A spektrisäde on

missä :t ovat A:n ominaisarvot.

Lause 11.5.1 ||A|| < r => (A) < r.

Todistus . Olkoon ominaisarvo ja x ominaisvektori

Interaktiivinen harjoitus 11.5.1. Spektraalisäde.

Lause 11.5.2 Olkoon

kompleksitason ympyrässä || r suppeneva potenssisarja. Jos (A) < r, niin

Todistus. Jos (A) < r,kaikki A:n ominaisarvot ovat suppenemisalueen || < rsisällä. Siten f:n arvot ja derivaatat A:n spektrillä voidaan laskea. (Potenssisarja voidaan derivoida ja tuloksena on suppeneva potenssisarja jonka suppenemissäde on sama). Funktio

suppenee A:n spektrillä. Siispä

Esimerkki 11.5.1

Lause 11.5.3 Olkoon

G[f f ,...,f ]

riittävän säännöllisistä funktioista f , f ,...,f muodostettu polynomi (f ,..., f :n summia ja tuloja skalaareilla kerrottuina). Jos

niin g(A) = 0.

Todistus. Olkoon r () kutakin funktiota f vastaava interpolaatiopolynomi A:n spektrillä, ts.

Olkoon h polynomi s.e.

Osoitetaan, että g( ) = h( ). Tarkastellaan tilannetta ominaisarvon osalta.

Samoin jatkamalla havaitaan, että

kuten myös, että yhtäsuuruus pätee muidenkin ominaisarvojen osalta. Siis

h( ) = g( ) .

Koska

Esimerkki 11.5.2