11.4 Matriisifunktio Jordanin kanonisen muodon avulla

Lause 11.4.1 Jos A ja B ovat similaarisia matriiseja s.e. A = SBS , niin

f(A) = S f(BS .

Todistus. Koska A ja B ovat similaarisia matriiseja, on niillä sama Jordanin kanoninen muoto. Tästä seuraa, että niillä on sama minimipolynomi.

Koska minimipolynomi on sama, on

joten A:n ja B:n spektrin (Lagrangen) interpolaatiopolynomit ovat samat. Tästä seuraa, että

missä r() on ko. interpolaatiopolynomi.Toisaalta

Lause 11.4.2 Olkoon

Jordanin matriisi, jonka lohkojen kertaluvut ovat r r ,...,r . Nyt

Todistus. Olkoon J:n minimipolynomi

ja r() J:n spektrin interpolaatiopolynomi, ts.

= 0,1,...,m  - 1,  k = 1,2,...,s.

Määritelmän perusteella

Osoitetaan, että

f(J ) = r(J ),  i = 1,2,...,p,

mistä väite seuraa. Olkoon lohkoon J kuuluva ominaisarvo. J :n minimipolynomi on (- ) , r m . f:n arvot J :n spektrillä ovat:

f ( ),   i = 0,1,...,r  - 1.

J:n minimipolynomin perusteella interpolaatioehdot sisältyvät ehtoihin (1), joten r() on myös J :n interpolaatiopolynomi sen spektrillä. Siis

f(J ) = r(J )

ja

Seuraus. Olkoon J A:n Jordanin kanoninen muoto, ts. A = SJS . Esimerkin 11.3.2, lauseiden 11.4.1 ja 11.4.2 perusteella

Esimerkki 11.4.1 Olkoon A = SJS , missä J = diag[J J ,...,J ] on Jordanin kanoninen muoto. Jos f() = e , on

Voidaan osoittaa, että

toteuttaa yhtälön

Vastaavasti, jos f() = sin( t),

missä

sin At toteuttaa yhtälön