11.3 Matriisifunktion määrittely

Olkoon A:n minimipolynomi

missä

ja = 1,...,s, ovat A:n erisuuret ominaisarvot. Olkoot g() ja h() kaksi eri polynomia s.e.

g(A) = h(A).

Tällöin erotus d() = g() - h() toteuttaa ehdon d(A) = 0, joten d() = () (), (minimipolynomin määritelmän perusteella), missä ()on jokin nollasta eroava polynomi.

Minimipolynomin lausekkeen perusteella

eli

Määritelmä. Lukuja

sanotaan funktion f() arvoiksi matriisin A spektrillä (ominaisarvojen joukossa). Merkitään

Eo. polynomit h() ja g() saivat samat arvot A:n spektrillä. Tätä merkitään

g( ) = h( ).

Harjoitus 11.3.1 Osoita käänteinen tulos oikeaksi. Jos polynomit g ja h ovat identtiset A:nspektrillä, niin g(A) = h(A).

Määritelmä. Olkoon f() matriisin Aspektrillä määritelty riittävän säännöllinen funktio ja g() polynomi, s.e.

f( ) = g( ) ,

(toisin sanoen funktiot f ja g ovat identtiset A:n spektrillä), niin määritellään

f(A) = g(A).

Polynomiksi g() voidaan valita vaikkapa Lagrangen interpolaatiopolynomi r(). Etsitään r() s.e.

Interpolaatiopisteitä on

kappaletta, joten r():n aste on m-1.

Esimerkki 11.3.2 Olkoon f() = e ja

Muodostetaan e . Matriisin A minimipolynomi on

joten juuret ovat  = 1 ,  = 3.

Interpoloiva polynomi

Siispä

Esimerkki 11.3.2 Olkoon J nxnmatriisi

Sen minimipolynomi on (- ) , joten

Lagrangen interpolaatiopolynomi

Siis

Tarkastellaan sen termejä.

Yhteensä

Huomautus. Jos minimipolynomi on vaikea löytää, voidaan sen asemesta määrittelyssä käyttää karakteristista polynomia. Interpolaatioehtoja tulee ylimääräisiä, joten ajansäästö kostautuu ehkä myöhemmin. Lopputulos on sama, jos oikein lasketaan.

Animaatio 11.3.1. Matriisifunktio.