10.5 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen kun

A ei ole neliömatriisi

Lause 10.5.1. Olkoon  F ja rank(A) = r.

1) Jos r = m, on yhtälöryhmällä Ax = b ratkaisu    F

Kaikki ratkaisut ovat muotoa

x = A b + v, missä v  N (A).

2) Jos r = m = n, on ratkaisu yksikäsitteinen ja x = A b.

3) Jos r < m, ei yhtälöryhmällä ole ratkaisua jokaisella  F .

Valinta

x = A b + v, missä v  N (A),

minimoi virheen ||Ax-b||.

Todistus.

1) rank(A) = m, joten AA  = I (mxm)

2) rank(A) = n = m  =>  N (A) = {0} => v = 0,

joten ratkaisu on yksikäsitteinen x = A b. A on sekä vasen että oikea inverssi => A  = A .

3) Jos rank(A) = r < m, ei ratkaisua voi olla jokaisella  F , sillä R (A F . Yritetään löytää ratkaisu, joka minimoi virheen||Ax-b||. Jaetaan F s.e.

Jokainen  F jakautuu osiin b    R (A), b-b    R (A)

b = b  + (b - b )

Koska x ei vaikuta ||b-b ||:ään lainkaan, on parasta valita x s.e.

Ax  b .

Tämä on mahdollista, sillä b   R (A). Koska edellisen harjoitustehtävän mukaan AA on ortogonaaliprojektori R (A):lle, niin

Ratkaisu käy nyt helposti:

Jos rank(A) = n, niin N (A) = {0}, ja ratkaisu on yksikäsitteinen.

Tulokset voidaan koota seuraavan kaavion muotoon

Kohdissa 2. ja 4. ratkaisut eivät ole yksikäsitteisiä. Etsitään sellaiset ratkaisut, joiden normi

on mahdollisimman pieni.

Lause 10.5.2 Kohtien 2. ja 4. miniminormiratkaisu on

x = A b

Todistus.

missä V = [v ,v ,...,v ,v ,...,v ], ja y=U*b.

Tiedetään, että N (A) = span{v ,...,v }. Jos v  N (A), niin

Koska {v }-kanta on ortonormaali

Tämä lauseke saa miniminsä, kun |<v ,v>| = 0, i = r+1,...,n => 0..