10.4 Pseudoinverssi

Tarkastellaan lineaarisen yhtälöryhmän Ab ratkaisemista, kun A on mxn -matriisi.

Määritelmä. Olkoon matriisin Asingulaariarvohajotelma

sen pseudoinverssi on

missä muodostetaan transponoimalla ja korvaamalla singulaariarvot ,...,  käänteisluvuilla 1/ , 1/ ,..., 1/ . Toisin sanoen, jos

niin

Lause 10.4.1 Matriisit AA ja A A ovat hermiittisiä ja

AA A = A, A AA  = A

Jos rank(A) = n, on A:lla vasemmanpuoleinen inverssi A ja A A = I . Jos rank(A) = m, on A:llaoikeanpuoleinen inverssi ja AA  = I .

Todistus. Olkoon r = rank(A). Suoraan laskemalla saadaan

missä I on r yksikkömatriisi. Edelleen

joten AA on Hermiten matriisi. (Samoin osoitetaan, että A A on semmoinen.) Todistetaan jälkimmäinen lauseen väitteistä.

Samoin voidaan osoittaa, että AA A = A. Jos rank(A) = m, on AA  = UIU* = I, joten A on oikeanpuoleinen inverssi. Vastaavasti, jos rank(A) = n, niin

A A = V U U V  = V V  =

I  o.

Harjoitus 10.4.1 Osoita, että

on ortogonaaliprojektorimatriisi (R (A):lle).