10.3 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisun herkkyydestä

10.3.1 Häiriö b:ssä

Tutkitaan miten yhtälön Ax = b ratkaisu x muuttuu, jos b -vektoria häiritään s.e. b -> b +  b. Alkuperäisen yhtälön oikea ratkaisu on

Ax = b <=> x = A b.

Merkitään häirittyä ratkaisua x +  x:llä.

A( x) = b +  b <=> x +  x = A b + A b.

Häiriön b vaikutus ratkaisuun on edellisen perusteella

x = A b,

josta

Koska

niin

josta ratkaisun suhteelliseksi muutokseksi saadaan

Pienet (suhteelliset) häiriöt b:ssä vaikuttavat siis suhteellisen vähän ratkaisuun x, jos k(A) on pieni. Jos k(A) on suuri, voi vaikutus olla katastrofaalinen.

Esimerkki 10.3.1 Jatketaan esimerkin 10.2.1 tarkastelua, jossa

 = 1.98005,  = 0.00005, k(A) = 39601,

Yhtälöryhmän Ax btarkka ratkaisu on x = [1,1] .

Toisaalta, jos x  = [3, -1.0203] , niin

joten b = [-0.000097, 0.000106] :n suuruinen häiriö muuttaa ratkaisua x = [2, -2.0203] :n verran. Katsotaan, mitä teoria sanoo.

joten

Koska k(A) = 39 601, on löydetty lähes huonoin mahdollinen tilanne.

10.3.2 Häiriö A:ssa

Tarkastellaan seuraavaksi, mitä tapahtuu, jos matriisi A muuttuu s.e.

Tällöin ratkaisu on

joten

Koska

niin

joten saadaan arviot

Jakamalla ||x +  x||:llä

Jos x on pieni x:n rinnalla, niin likimäärin

Esimerkki 10.3.2 Approksimoidaan jatkuvaa funktiota f(x) välillä [0,1] n-1-asteisella polynomilla

s.e. neliövirhe

minimoituu. Lasketaan osittaisderivaatat tuntemattomien kertoimien suhteen ja merkitään ne nolliksi.

Kun merkitään

niin saadaan yhtälöryhmä c -kertoimien ratkaisemiseksi

eli

H c = b,

missä

ja

H on Hilbertin matriisi

Osoittautuu, että n:n kasvaessa H :n kääntäminen käy lähes mahdottomaksi

Tämä johtaa n:n kasvaessa paradoksaalisen tilanteeseen. Approksimoivan polynomin asteluvun lisääminen saattaa heikentää ratkaisun tarkkuutta laskennassa syntyvien numeeristen virheiden katastrofimaisen kasvun johdosta. Tilannetta voidaan parantaa huomattavasti käyttämällä ortogonaalisia polynomeja avulla.