Jos x  R ja y  R , voidaan määritellä niiden sisätulo

Vastaava määritelmä C :ssä (ja F :ssä ) on

Sisätulolla on seuraavat perusominaisuudet:

1) <x,x>0, jos <x,x> = 0, niin x = 0

2) <x+y,z,z> + <y,z> 

3) <x, y> =  <x,y>

jokaisella x ,y,z  F ja   F.

Harjoitus 1.7.1 Osoita, että sisätulo toteuttaa e.o. ominaisuudet 1-4.

Määritelmä:. Jos

< x, y > = 0,

ovat vektorit x ja y ortogonaaliset.Vektorijoukko {x ,x ,...,x } on ortogonaalinen, jos

ja ortonormaali, jos

missä yllä oleva kaava määrittelee myös Kroneckerin symbolin .

Harjoitus 1.7.2 Miten ortogonaalisesta vektorijoukosta saadaan ortonormaali vektorijoukko ?

Vihje: Olkoon x ortonormaalin vektorijoukon jokin vektori. Jaa se luvulla (< x, x >)

Huomautus 1.7.1 Matriisi-vektoritulo saadaan sisätulon avulla uuteen uskoon:

Seuraavan harjoituksen tärkeää tulosta käytetään usein. Kannattaa opetella se nyt:

Harjoitus 1.7.3 Olkoon {x ,x ,...,x } F :n vektorijoukko ja

X = [x ,x ,..,x ]

siitä muodostettu matriisi. Osoita, että {x ,x ,..,x } on ortonormaali joukko <=> X on unitaarinen. Jos F  = R ,niin {x ,x ,..,x } on ortonormaali joukko <=> X on ortogonaalinen.

Biortonormaalit vektorijoukot.F :n vektorijoukot {x ,x ,...,x } ja

{y ,y ,...,y } ovat bi-ortonormaalit, jos

< x , y > =

Harjoitus 1.7.4 Olkoon X ei-singulaarinen matriisi. Olkoon

Y=(X )*. Osoita, että X:n ja Y:n sarakevektori muodostavat bi-ortonormaalin joukon.

Harjoitus 1.7.5 Sisätulon ja matriisin konjugaattitranspoosin välillä vallitsee tärkeä yhteys, jonka todistaminen suoritetaan harjoituksena.

ja jos

niin

B = A*

Todistuksissa usein käytetään apuna seuraavia yksinkertaisia tuloksia:

Harjoitus 1.7.6

Harjoitus 1.7.7 Todista lauseen 1.4.2 väite (AB)*=B*A* harjoituksen 1.7.5 avulla.

Interaktiivinen harjoitus 1.7.1. Sisätulo.