1.6 Vasen-, oikea- ja käänteismatriisi

Matriisin A käänteismatriisi (inverssi) A toteuttaa yhtälöt

A = I AA .

Determinanttien ja LU-hajotelman yhteydessä havaitaan, että neliömatriisin inverssi on olemassa jos jompi kumpi yllä olevista yhtälöistä toteutuu. Jos matriisilla on käänteismatriisi, sitä sanotaan ei-singulaariseksi.

Jos vain edellinen yhtälöistä toteutuu, on A:lla vasemmanpuoleinen inverssi, jota merkitään A :llä, jos vain jälkimmäinen toteutuu, niin A:llaon oikeanpuoleinen inverssi, merkitään A .

Esimerkki 1.6.1.

a)

b)

c)

Harjoitus 1.6.1 Osoita, että inverssin määritelmästä seuraa, että matriisin inverssi on neliömatriisi. (A ja A kommutoivat). Mitä voidaan sanoa mxn -matriisin vasemmanpuoleisen inverssin ja oikeanpuoleisen inverssin dimensioista.

Harjoitus 1.6.2. Ei-singulaarisille nxn -matriiseille pätee

(AB) = B A .

Vihje. Käytä inverssin määrittely-yhtälöitä.

Harjoitus 1.6.3. Osoita, että käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Vasemman- ja oikeanpuoleiset inverssit eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä. Tarkastele esimerkin 1.11 matriiseita.

Käänteismatriisia tarvitaan usein lineaarista yhtälöryhmää ratkottaessa.

Lause 1.6.1. Olkoon A ei-singulaarinen nxn neliömatriisi ja b jokin n-vektori. Yhtälöryhmän

Ax=b

yksikäsitteinen ratkaisu on x=A b.

Todistus. x on ratkaisu, sillä A(A b )=AA b = I b = b. Olkoon nyt y toinen ratkaisu. Se toteuttaa yhtälön Ay=b. Kun yhtälö kerrotaan A:n inverssillä saadaan

A Ay= I y = y= A b= x,

joten y=x ja ratkaisu on yksikäsitteinen. Huomaa, että inverssin määrittely-yhtälöistä ensimmäistä tarvittiin sen osoittamiseen, että xon ratkaisu, ja toista ratkaisun yksikäsitteisyyden todistamiseen.

Harjoitus 1.6.4. Jos A on lohkomatriisin muodossa, sille voidaan usein löytää vastaava lohkomatriisi-inverssi. Olkoon

missä A :llä ja A -A A A :lla on inverssit (ne ovat neliömatriiseita harjoituksen 1.11. perusteella) . Osoita, että

ja muodosta edelleen A :n lauseke.

Harjoitus 1.6.5 Sherman- Morrisonin yhtälö. Olkoon A ei-singulaarinen nxn matriisi ja u ja v vektoreita s.e v*A  -1. Silloin

Tämä inverssin laskentamenetelmä on kätevä erityisesti silloin kun matriisin A jokin sarake päivitetään ja sen jälkeen on laskettava uuden matriisin inverssi.

Harjoitus 1.6.6 Ei-singulaariselle matriisille pätee

edelleen, jos A on hermiittinen, niin A on myös hermiittinen.

Seuraavan harjoituksen tulosta käytetään monessa yhteydessä, erityisesti LU-hajotelmaa muodostettaessa, sillä se helpottaa monien matriisilausekkeiden laskemista ja tulkintaa.

Harjoitus 1.6.7 Osoita, että

a)  ei-singulaarisen alakolmiomatriisin inverssi on alakolmiomatriisi, ja vastaavasti

b)  yläkolmiomatriisin inverssi on yläkolmiomatriisi.

c)  Jos ala(ylä)kolmiomatriisin diagonaalialkiot ovat ykkösiä, niin inverssin diagonaalialkiot ovat myös ykkösiä.

Vihje: a-kohdan tulos voidaan todistaa induktiolla. Osoita, että väite pätee 1x1 ei-singulaarisille alakolmiomatriiseille. Sen jälkeen oletetaan, että ei-singulaarisen kxk alakolmiomatriisin L inverssi L on alakolmiomatriisi. Todista sitten, että ositetun ei-singulaarisen matriisin

inverssi on alakolmiomatriisi. Samalla tulee osoitetuksi, että ei-singulaarisen alakolmiomatriisin diagonaalialkiot ovat nollasta poikkeavia.