1.5 Symmetriset, hermiittiset, normaalit ja unitaariset matriisit

Symmetrinen- ja Hermiittinen (Hermiten) matriisi. Jos

A   <=>  A on symmetrinen

A*  <=>  A on  hermiittinen matriisi tai Hermiten matriisi

= -A   <=>  A on vinosymmetrinen,

= -A*  <=>  A on  vinohermiittinen  tai Hermiten vino matriisi

Matriisi A on normaali, jos

AA* = A*A

Tavallinen matriisi ei toteuta yo. ehtoa eikä siten ole normaali. Normaali matriisi ei siis ole aivan tavallinen matriisi.

Esimerkki 1.5.1

on symmetrinen ja hermiittinen

on hermiittinen

on vinohermiittinen

Harjoitus 1.5.1 Olkoon A normaali. Osoita, että iA on normaali (i  = -1).

Neliömatriisi A on ortogonaalinen, jos

ja se on unitaarinen, jos

A*= I AA*.

Determinanttien ja LU-hajotelman yhteydessä osoitetaan, että neliömatriiseilla yhtälöstä A A=I seuraa AA =I (ja kääntäen), samoin unitaarisuuden määrittelyssä tarvitaan vain toinen yhtälöistä. Tätä tietoa voi käyttää hyväksi tämän kappaleen todistuksissa.

Harjoitus 1.5.2. Olkoon A unitaarinen (ortogonaalinen). Onko A* (A ) unitaarinen (ortogonaalinen).